高一数学暑假作业答案

（一）
1．C　2．A 3．D　 4．C　5．B　6．D　7．x轴的正半轴 8．－60
9．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z} 10．－110°或250°
11．解　(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．
(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．
(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．
12．设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合{α|k·180°＋30°≤α<k·180°＋105°，k∈Z}．
13．终边在y＝x上角的集合是S＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．
14．解　当α为第二象限角时，
90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，
∴30°＋·360°<<60°＋·360°，k∈Z．
当k＝3n(n∈Z)时，30°＋n·360°<<60°＋n·360°，此时为第一象限角；
当k＝3n＋1时，150°＋n·360°<<180°＋n·360°，此时为第二象限角；
当k＝3n＋2时，270°＋n·360°<<300°＋n·360°，此时为第四象限角．
综上可知是第一、二、四象限角．
（二）
1．A 2．C　3．A　4．C　5．D　 6．B 7．－10π＋π 8．25 9．π或π
10．－，－，，
11．解　(1)－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋，∴－1 500°与π终边相同，是第四象限角．(2)π＝2π＋π，∴π与π终边相同，是第四象限角．(3)－4＝－2π＋(2π－4)，
∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．
12．设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，
则l＋2r＝40，∴l＝40－2r． ∴S＝lr＝×(40－2r)r＝20r－r2＝－(r－10)2＋100．
∴当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，
此时θ＝＝＝2 rad．
13．设圆半径为r，圆心角为θ，则内接正方形的边长为r，圆弧长为4r．
∴|θ|＝＝4．
14．(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，∵α＝60°＝，R＝10，∴l＝αR＝ (cm)
S弓＝S扇－S△＝××10－×102×sin 60°＝50 (cm2)
(2)扇形周长c＝2R＋l＝2R＋αR，∴α＝，
∴S扇＝αR2＝··R2＝(c－2R)R＝－R2＋cR＝－(R－)2＋．
当且仅当R＝，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是．
（三）
1．C　2．B 3．C　4．A　5．D　6．D　7．－ 8．－2<a≤3 9．负号 10．2
11．解　(1)∵α是第二象限角．∴sin α>0，cos α<0，∴sin α·cos α<0．
(2)∵285°是第四象限角，∴sin 285°<0，∵－105°是第三象限角，∴cos(－105°)<0，
∴sin 285°·cos(－105°)>0．
(3)∵<3<π，π<4<，∴sin 3>0，cos 4<0．
∵－＝－6π＋，∴tan>0，∴sin 3·cos 4·tan<0．
12．sin α＝＝y．当y＝0时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0．
当y≠0时，由＝，解得y＝±．
当y＝时，P，r＝．∴cos α＝－，tan α＝－．
当y＝－时，P(－，－)，r＝，∴cos α＝－，tan α＝．
13．C　[∵θ为第一象限角，∴2kπ<θ<2kπ＋，k∈Z．∴kπ<<kπ＋，k∈Z．
当k＝2n (n∈Z)时，2nπ<<2nπ＋ (n∈Z) ∴为第一象限角，
∴sin >0，cos >0，tan >0．当k＝2n＋1 (n∈Z)时，2nπ＋π<<2nπ＋π (n∈Z)
∴为第三象限角，∴sin <0，cos <0，tan >0，从而tan >0．
而4kπ<2θ<4kπ＋π，k∈Z，
cos 2θ有可能取负值，故选C．]
14．解　∵x＝－15a，y＝8a，
∴r＝＝17|a| (a≠0)
(1)若a>0，则r＝17a，于是sin α＝，cos α＝－，tan α＝－．
(2)若a<0，则r＝－17a，于是sin α＝－，cos α＝，tan α＝－．

（四）
1．C 2．D　3．A　4．C　5．D　6．A　7． 8．∪
9． 10．，k∈Z
11．解　(1)

图1
作直线y＝交单位圆于A．B，连结OA．OB，则OA与OB围成的区域(图1阴影部分)，即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
(2)

图2
作直线x＝－交单位圆于C．D，连结OC．OD，则OC与OD围成的区域(图2阴影部分)，即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
12．解　∵θ是第二象限角，
∴2kπ＋<θ<2kπ＋π (k∈Z)，故kπ＋<<kπ＋ (k∈Z)

作出所在范围如图所示．
当2kπ＋<<2kπ＋ (k∈Z)时，cos <sin <tan ．
当2kπ＋<<2kπ＋π (k∈Z)时，sin <cos <tan ．
13．解　由题意，自变量x应满足不等式组
　即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，

∴．
14．证明

如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于P，α的正弦线、正切线为有向线段MP，AT，则MP＝sin α，AT＝tan α．
因为S△AOP＝OA·MP＝sin α， S扇形AOP＝αOA2＝α，S△AOT＝OA·AT＝tan α，
又S△AOP<S扇形AOP<S△AOT， 所以sin α<α<tan α，即sin α<α<tan α．
（五）
1．C　2．B　3．A 4．C　 5．C　6．B 7．－ 8． 9．－ 10．
11．解　原式＝＝
＝＝
＝＝＝＝．
12．证明　左边＝＝
＝＝＝右边．
∴原等式成立．
13．证明　(1)左边＝－＝－
＝－＝－
＝＝sin α＋cos α＝右边．
∴原式成立．
(2)∵左边＝4＋2tan2α－2cos2α－sin2α＝2＋2tan2α＋2sin2α－sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α，
右边＝(1＋2tan2α)(1＋cos2α)＝1＋2tan2α＋cos2α＋2sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α
∴左边＝右边，∴原式成立．
14．解　(1)由韦达定理知：sin θ＋cos θ＝a，sin θ·cos θ＝a．
∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴a2＝1＋2a．解得：a＝1－或a＝1＋
∵sin θ≤1，cos θ≤1， ∴sin θcos θ≤1，即a≤1， ∴a＝1＋舍去．
∴sin3θ＋cos3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ)＝(sin θ＋cos θ)(1－sin θcos θ)
＝a(1－a)＝－2．
(2)tan θ＋cot θ＝＋＝＝＝＝＝－1－．

（六）
1．A　2．C 3．D　 4．A 5．B　 6．B　7．－ 8．tan α 9．－1 10．3
11．解　原式＝＝＝－tan α．
∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－，∴cos α＝．∴α为第一象限角或第四象限角．
当α为第一象限角时，cos α＝，sin α＝＝，∴tan α＝＝，
∴原式＝－．
当α为第四象限角时，cos α＝，sin α＝－＝－，∴tan α＝＝－，
∴原式＝．
综上，原式＝±．
12．证明　∵sin(α＋β)＝1，∴α＋β＝2kπ＋ (k∈Z)，∴α＝2kπ＋－β (k∈Z)
tan(2α＋β)＋tan β＝tan＋tan β＝tan(4kπ＋π－2β＋β)＋tan β
＝tan(4kπ＋π－β)＋tan β＝tan(π－β)＋tan β＝－tan β＋tan β＝0，
∴原式成立．
13．解　当k为偶数时，不妨设k＝2n，n∈Z，则
原式＝＝
＝＝－1．
当k为奇数时，设k＝2n＋1，n∈Z，则
原式＝
＝＝＝－1．
∴原式的值为－1．
14．解　由条件得sin A＝sin B，cos A＝cos B，
平方相加得2cos2A＝1，cos A＝±， 又∵A∈(0，π)，∴A＝或π．
当A＝π时，cos B＝－<0，∴B∈，∴A，B均为钝角，不合题意，舍去．
∴A＝，cos B＝，∴B＝，∴C＝π．
（七）
1．A 2．A　3．A　4．C　 5．C　 6．D　7．－ 8．1 9． 10．2
11．证明　左边＝
＝＝
＝＝－＝－tan α＝右边．
∴原等式成立．
12．sin＝－cos α， cos＝cos＝－sin α．
∴sin α·cos α＝，即2sin α·cos α＝．①又∵sin2α＋cos2α＝1， ②
①＋②得(sin α＋cos α)2＝，②－①得(sin α－cos α)2＝，
又∵α∈，∴sin α>cos α>0，即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，
∴sin α＋cos α＝， ③ sin α－cos α＝， ④
③＋④得sin α＝，③－④得cos α＝．
13．解　原式＝sin＋cos．
当k为奇数时，设k＝2n＋1 (n∈Z)，则
原式＝sin＋cos
＝sin＋cos＝sin＋
＝sin－cos＝sin－sin＝0；
当k为偶数时，设k＝2n (n∈Z)，则
原式＝sin＋cos＝－sin＋cos
＝－sin＋cos＝－sin＋sin＝0．
综上所述，原式＝0．
14．解　由条件，得
①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，③
又因为sin2α＋cos2α＝1，④
由③④得sin2α＝，即sin α＝±，
因为α∈，所以α＝或α＝－．
当α＝时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)，
所以β＝，代入①可知符合．
当α＝－时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)，
所以β＝，代入①可知不符合．
综上所述，存在α＝，β＝满足条件．