暑假大串联高一数学答案

一、 填空题（本题满分42分，每小题3分）
1．｛0，π2 ｝　　 2．－12 3．－12 4．2　　　5．y=ln(2x－2) 6．0 7．(－∞,1]
8．310 　9．1 10．(12 ,－32 ),(－12 ,32 ) 11．②③12．(3,5) 13．19 14．[－1－π , 1＋π]

二、解答题
15．（本题满分10）
(1) log189=a，log185=b，log3645=a＋b2－a ；
(2) tan（∠A＋∠B）＝12＋131－12×13 =1，△ABC中∠A＋∠B = π4 ，∠C = 3π4 ．

16．（本题满分8）
tanα2 =sinα2 cosα2= sinα22cosα2 cosα2 2cosα2=sinα 1＋cosα =sin2α (1＋cosα)sinα=1－cosα sinα= 1＋sinα－cosα1＋sinα＋cosα ．

17． （本题满分10
（1） ＝（2 , 3）， ＝（3 , k）．若∠BAC是锐角，则 =6＋3k>0，且k≠92 ；
若∠ABC是锐角，则 =7－3k>0；若∠BCA是锐角，则 =k2－3k＋3>0；
k的取值范围是(－2 , 73 )．
(2) 若∠BAC是直角，则 =6＋3k =0，k＝－2，这时｜ ｜＝｜ ｜＝13 ，△ABC的面积是132 ；若∠ABC是直角，则 =7－3k =0，k＝73 ，这时△ABC不是等腰直角三角形；又∠BCA一定是锐角，所以，仅存在实数k＝－2，使得△ABC是等腰直角三角形，这时△ABC的面积是132 ．

18．（本题满分10分）
（1）h=3 sinθ＋cosθ =2sin(θ＋π6 )，
因为0<θ<π2 ，所以π6 <θ＋π6 <2π3 ，h的最大值是2，相应的θ值为π3 ；
（2）h＞3时，sin(θ＋π6 )＞32 ，所以 π3 <θ＋π6 <2π3 ，即 π6 <θ<π2 ，θ取值范围是（π6 ，π2 ）．

19．（本题满分10分）
（1）f (x)＝Asin(ωx＋φ)（A＞0，ω＞0，－π＜φ＜π）的最大值是2 ，周期是π，∴所以A＝2 ，ω＝2，
∵f (x)图象过点(－π8 ,－2 )，∴sin(－π4 ＋φ)=－1，
∵－π＜φ＜π，∴φ＝－π4 ，f (x) ＝2 sin(2x－π4 )．
（2）令2 sin(2x－π4 )＝0，得2x－π4 ＝kπ，即x＝kπ2 ＋π8 ，k是整数，
f (x)图象的对称中心是（kπ2 ＋π8 ，0），k是整数．
（3）x∈[0 , π2 ]时，2x－π4 ∈[－π4 , 3π4 ]，sin(2x－π4 )∈[－22 , 1]，f (x)的取值范围是[－1 , 2 ] ，
若函数y＝f (x)－m在[0 , π2 ]上有零点，则实数m的取值范围是[－1 , 2 ]．

20．（本题满分10分）
(1) f (x)的定义域是{x|x∈R , x≠kπ2 , k∈Z}；
(2) sinx＋3sinx＋2 =1＋1sinx＋2 最大值为1＋1－1＋2 =2；
(3) 设t=sinx＋cosx，则1sinx ＋1cosx = sinx＋cosxsinxcosx = 2tt2－1 ，
x∈(0 , π2 )时，t的取值范围是（1 , 2 ]．
用函数单调性定义可证明s(t) = 2tt2－1 （t∈（1 , 2 ]）是减函数，
所以x∈(0 , π2 )时，2tt2－1 最小值为22 ，又α∈R时，2g(α)最大值为22 ；
所以f (x)≥2g(α)恒成立．

注：部分试题有变动，第2题原题是求sin2010°的值，答案一样；第15题去了第1小题，第2小题将求角C改为证明；第16题原来是证明：tanα2 = sinα 1＋cosα = 1＋sinα－cosα1＋sinα＋cosα ；第17题锐角三角形改为角BAC为锐角，等腰直角三角形改为直角三角形。