初中数学说课案例

弦切角(1)（说课材料）
一、说教材
1．说课内容：九年义务教育三年制初中几何（人教版）第三册第七章§7.11 《弦切角》(第一课时)(P121—123) 。
2．教材分析：“圆”是《几何》的最后一章，它属于“提高阶段”。而“直线和圆的位置关系”是全章的重点部分，其中“弦切角”这节课包括了弦切角概念、定理及推论等知识点。它是在“圆周角”、“切线的性质”的基础上展开教学的，弦切角定理在证明角相等、线段相等、线段成比例等问题中有重要作用，因此，它承上启下，是教学的一个重点内容。学生在学习“圆周角”时已孕育、形成了从特殊到一般、归纳猜测、分类、化归、演绎等数学思想和方法，这节课正好让学生类比“圆周角”，进一步孕育类比思想，以及应用上述数学思想和方法，为今后的继续学习奠定坚实的基础。
3．教学重点、难点：弦切角概念的形成对培养学生的空间观念有积极作用，而弦切角定理则是证明和圆有关的比例线段的重要基础，因此是本节课的教学重点；教材在“圆周角”中已出现分情况证明数学命题的思想方法，但学生对此仍感生疏，所以为什么要分情况证明弦切角定理是本节的教学难点。
4．教学目标：根据大纲要求和教材的编写意图，我拟定本节课的教学目标是：
⑴知识目标：让学生理解和掌握弦切角概念、定理和推论；并领会本节课所蕴含的数学思想和方法；
⑵能力目标：培养学生分析、解决问题的能力和数学交流能力，发展思维能力，增强创新意识。并在几何元素、基本图形的运动变化中培养学生的空间想象能力。
⑶情感目标：激发学生的求知欲和学习兴趣，让学生体验数学发现的兴奋和问题解决的成功感，使学生对自己的数学能力增强信心。
二、关于教法与学法
1．建构主义数学观认为：数学在本质上是人类认知活动中图式的建构，是认知主体通过积极主动地调动旧的知识经验建构的。所以，我结合本班学生素质，采用类比启发、引导探索等启发式教学法进行教学，以学生为主体，教师为主导，通过创设问题情景，引导学生调动已掌握的知识和经验，建构弦切角概念和定理，并在个别辅导中关注低层次的学生，扶助他们构建自己的数学知识。同时借助电教媒体，设计形象、直观的图形把分散的知识点串连起来，综合演示法、练习法等，激发学生学习兴趣，调动学生主动学习的积极性。
2．针对初三学生以抽象思维为主，视听感受能力强，自主性和独立性强的个性特点，我注意给他们提供学法的指导，重点放在教他们“学会学习”上。这节课融进了类比法、讨论法、分类法、探索法等，引导学生学会调动旧知识方块和经验，类比建构新知识方块；在讨论与问答中学会进行数学交流，培养合作精神；在探索与练习中学会寻找解题策略；各种学法紧密联系，互相配合，让学生从中不仅学到数学知识，形成数学思想和方法，而且体验到问题发现、分析、解决的一般方法。
三、教学程序的设计
　　为更好地揭示数学知识的形成过程和内在联系，本节课设计为六个环节。
（一）类比联想
1．为调动学生的学习兴趣，一上课，我就用电教媒体显示圆周角，让学生观察图形并回答问题：(1)圆周角的概念；(2)∠ACB 的度数与圆中哪些元素（弧）有关？(3)请说出圆周角定理。
意图：通过复习圆周角与圆周角定理，为类比学习弦切角与弦切角定理埋下伏笔。
2．然后提出问题：圆周角∠ACB的一边绕顶点C旋转到与圆相切时，形成一个新的角（图2）（演示），这个角是不是圆周角？它有什么特征？让学生观察并讨论后，请一两位学生讲述其特征，师生一起给予评价、修正，我再点明这节课就是要研究这种角，然后鼓励学生抓住其特征给这种角命名（角的一边与圆相切，另一边为圆的弦，学生容易给予准确命名），由此引出课题：弦切角。接着请学生试着给弦切角下定义，教师点评、归纳出准确定义。
意图：通过创设问题情景，激发学生的认知欲望；通过圆周角的一边的旋转变化，直观形象地让学生明确弦切角的概念和三个特征，用运动的观点揭示出弦切角与圆周角的内在联系，让学生明晰事物是发展变化的，并培养学生的空间观念和开拓创新意识。而短时间的讨论和命名活动，丰富学生的想象力。
3．练习：①结合图3，让学生回答弦切角∠ACB所夹的弧是 ， 所对的圆周角是∠APC；②思考课本P123练习1，让学生口答，师生共同点评。
意图：通过讲练结合，加深对弦切角概念的理解。并为定理的发现作准备。

（二）类比、观察、猜想
至此，我们已学习了与圆有关的三种角：圆心角、圆周角和弦切角，也研究过一条弧所对的圆周角和圆心角的关系。那么，弦切角与它所夹的弧所对的圆周角有没有关系呢？将学生分成三组，用量角器和三角板分别画出90°、30°、120°的弦切角，并测量它们所夹的弧所对的圆周角的度数。最后，各组派代表讲述结果。
引导学生：这三个弦切角分别与它所夹的弧所对的圆周角有什么关系呢？鼓励学生大胆猜想，这样一来，很自然就得到命题：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。教师对学生敢于猜想给予肯定。但也指出，我们只是通过三种较特殊的情形提出猜想，那么，其他更一般的情形呢？我们不妨用几何画板来试验一下（演示），如此看来猜想应该是成立的。
意图：通过设问，在旧知识与新问题的冲撞中激发学生的求知欲；并让学生动手，带着问题探索，提出猜想，有意识地把难点分散，培养了学生自我探索、自主学习和创新意识，让学生体验到数学发现的兴奋；在分组画图和讨论中，让学生感受协作学习的价值。
（三）尝试论证，形成定理
由于是猜想，还有待证明。教师引导学生依据上述命题，画出图形，写出已知、求证（教师巡堂）。按本班学情，多数学生一般只画出一种情形，我让学生相互交流，然后请学生发言，得到圆心与弦切角有三种位置关系，我再用电脑演示，通过基本图形的运动变化，直观形象地展示三种位置关系，帮助较低层次的学生克服空间观念上的困难；同时用运动的观点揭示分情况证明的必要性。接着让学生继续分组讨论、交流，探索命题证明的思路。以本班学生素质，圆心在弦切角的内部和外部两种情形有一定的难度，我及时给予点拨，引导学生从特殊到一般，把未知转化为已知，渗透转化思想。从“圆心在角的一边上”这种特殊情形（情形①）入手。对另外两种情形，引导学生通过构造一条直径把问题转化为情形①，并利用两角互余和两角互补来解决。接着让学生练习，三位学生板演。教师巡堂作个别辅导，掌握学情。然后由学生对板书进行点评，我及时给予纠正。最后师生共同把命题改为定理。
意图：从猜想到证明，培养学生严谨的治学态度；从归纳出圆心与弦切角的三种位置关系，培养学生批评与自我批评的个性品质；从特殊到一般地研究问题，培养学生数学探索的思想方法和辩证唯物主义观；在分组讨论中，培养学生的数学交流能力，并达到思维互补的作用；把必须分情况证明命题的难点分散在数学活动中，并在完成定理的证明过程中，让学生体验到问题解决的成功感。整个过程始终让学生扮演主角，充分展现学生的个性和创造力，提高了学习兴趣。
接着让学生回答问题：观察右图，BC切⊙O于点A， = ．弦切角∠BAD和∠CAE有何关系？为什么？
然后引导学生归纳出推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等。
意图：通过解答补充练习,加深对弦切角定理的理解，并得出推论。
（四）理论知识内化为素质
学生通过动手、观察、猜想、归纳、论证，在自己头脑里已建构出数学概念、定理，接受着类比联想、归纳猜想、分类、化归、演绎等数学思想和方法的熏陶。为更好地将数学知识、数学思想方法内化为素质，提升为解决问题的能力，下面引入例1，引导学生思考证明途径，然后由学生口述，教师规范板书并点评。
（五）反馈、提高
根据教学应遵循巩固性原则、渐进性原则和学生的学情。布置学生完成练习2，本题有多种证法，鼓励学生用不同方法证明，教师巡看，做个别辅导。最后，让有不同解法的学生简述证明思路，互相交流，相互评点（若仍有学生未能找到方法，教师鼓励学生课后继续探索）。
意图：通过一题多解，培养学生的发散思维能力和求异精神；通过交流不同解法，培养学生勇于表现、敢于挑战的学习品质；通过互评，培养学生敏锐的洞察力和批判意识，优化思维品质；教师通过巡堂，了解教学效果，必要时及时补缺。
（六）小结、布置作业
1．小结：
请学生对本节课的学习内容和体会进行小结，谈谈收获。我再给予恰当的评价和完善。
⑴弦切角概念、弦切角定理与推论。
　　⑵本节课类比“圆周角”一节的研究方法，从特殊情形入手，通过猜想、分析、归纳和证明，获得并证明了弦切角定理，这种思想方法非常有用，同学们要认真体会。
2．布置作业：
⑴阅读本节内容；
⑵习题7.4 A组第5、6题；
⑶预习下节课内容。
3．最后，请全班同学猜一谜语——“弘”字打一数学名词（谜底“弦切角”），在活跃的气氛中结束新课。
意图：让学生在小结中锻炼概括能力，并通过回顾，帮助学生理出一个清晰的数学活动过程，领会本节课所反映的数学思想和方法，同时，也培养了学生的元认知能力。
四、关于教学目标的评价
本节课通过创设问题情景和充分利用电教媒体的直观、形象、生动，调动了学生的学习兴趣，并有足够时间让学生思考、交流、表现，展现学生个性，提高了教学效率。
根据建构主义数学观，学生的学习是一个主动地、自主地“再建构”数学的活动，所以本节课通过让学生自己动手、动脑，使教学重点在师生的共同探索中被学生所发现、证明、接受。从提出猜想到完成定理证明，让学生体验到问题发现和解决的成功感，同时充分地体现了学生是主体，教师为主导的教学理念。
从素质教育的角度看，本节课努力让不同层次的学生都能接受到数学思想和数学精神的熏陶，充分发展个性。因此，学生不仅学到书本上有形的东西，而且能深深体会到书本上无形的东西——解决问题的思想方法。
谢谢大家！