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  • 名称

    高中自主招生测试数学试题

    中学自主招生模拟考试数学试题
    (考试时间:120分钟,总分150分)
    一、选择题:(本大题共8题,每小题5分,共40分)
    1、若 ,则 、 、 这三个数的大小顺序是(       )
     A、     B、 
    C、     D、 
    2、下列各值中最大的是(       )
     A、      B、      C、    D、 
    3、若 、 、 都是有理数,则 、 的值是(       )
    A、二者均为有理数     B、二者均为无理数
    C、一个为无理数,另一个为有理数  D、以上三种情况均在可能
    4、设实数 、 、 满足 , ,则 的值为(       )
       A、1          B、2          C、           D、 
    5、如图,在梯形ABCD中,AB//CD, ,AB=9厘米,
    BC=8厘米,CD=7厘米,M是AD的中点,从M作AD的垂线
    交BC于N,则BN的长等于(       )
    A、1厘米    B、1.5厘米  C、2厘米   D、2.5厘米
    6、分子为1,分母为大于1的自然数的分数叫做单位分数。若将 表示
    分母不同的两个单位分数之和,则所有可能的表示组数有(       )
    A、1组    B、2组   C、3组    D、4组
    7、已知 ,则 的解为(       )
    A、 或         B、 或  
    C、 或          D、 
    8、某程序框图如右图所示,现将输出( )值依次记为:
     若程序运行中输出的
    一个数组是  ,则数组中的 (       )
       A.64        B.32        C.16        D.8
    二、填空题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分)
    9、已知 、 都是质数,且 、 也都是质数,则 =          。
    10、已知 、 都是正实数, , ,若 ,则        。
    11、满足方程 所有实数解
    为                     。
    12、如图,AB为半圆直径,P、Q两点在半圆上,PE⊥AB,
    QF⊥AB,若AP•AQ=EF•AB,则 __________。
    13、设 为整数,且 ,则            。
    14、已知正整数 , ,…, 满足 , ,
    则 的最大值为                。
    三、解答题:(本题有5小题,共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。)
    15、(本小题10分)设数列 ,
    问:(1)这个数列第2010项的值是多少?
    (2)在这个数列中,第2010个值为1的项的序号是多少?
















    16、(本小题14分)已知锐角△ABC,过点A作BC的垂线与以BC为直径的⊙ 分别交于点D、E;过点B作CA的垂线与以CA为直径的⊙ 分别交于点F、G。
    证明:E、F、D、G四点共圆,并确定圆心的位置。











    17、(本小题15分)已知一次函数 ,二次函数 和  的图象分别为 、E1、E2, 交E1于B、C两点,且满足下列条件:① b为整数;
    ② B( ),C( ).③ 两个二次函数的最小值差为l.
    (1)如 与E2交于A、D两点,求 的值.
      (2)问是否存在一点P,从P出发作一射线分别交E1、E2于P1,P2,使得P P1:P P2
    为常数,并简述你的理由。














    18、(本小题15分)是否存在六个互不相同的正整数满足以下条件:从中任取两个数组成一组,并在同一组中用较大的数减去较小的数,再将各组所得的差相加,其和恰好等于45,且最大的数与最小的数之差能被3整除?若存在,请求出这六个数;若不存在,请说明理由。













    19、(本小题20分)如图,在锐角△ABC中,AB=AC,∠ACB的平分线与AB交于点D,过△ABC的外心O作CD的垂线与AC交于点E,过E作AB的平行线CD交于点F。证明:(1)C、E、O、F四点共圆;(2)A、O、F三点共线;(3)EA=EF。










    2012年温州中学自主招生模拟考试数学试题参考答案
    一、选择题:(本大题共8题,每小题5分,共40分)
    1、B   2、C   3、A   4、C   5、C   6、C   7、C   8、B
    7、解答:不等式的左端看成 的一次函数, 
    由 或 。正确答案为C。
    二、填空题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分)
    9、17  10、   11、    12、   13、3或57   14、193
    13、将 代入 ,得到 ,
    因为 都是整数,所以 
    前两个方程组无解;后两个方程组解得 。
    所以 3或57。
    14、为了使 最大, , ,…, 应尽可能小, , ,…, 应尽可能接近 ,
    故取 , ,…, 分别为1,2,…,8,其和为36。
    设 , ,…, ,∴ 。
    三、解答题:(本题有5小题,共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。)
    15、(本小题10分)
    解:(1)将数列分组: 
    因为1+2+3+…+62=1953;1+2+3+…+63=2016,
    所以数列的第2010项属于第63组倒数第7个数,即为 。    ---------  5分
    (2)由以上分组可以知道,每个奇数组中出现一个1,
    所以第2010个1出现在第4019组,而第4019组中的1位于该组第2010位,
    所以第2010个值为1的项的序号为(1+2+3+…+4018)+2010=809428。 --- 10分



    16、(本小题14分)
    证法一:∵BC、CA分别是DE、FG的中垂线,∴CD=CE,CF=CG,
    ∵∠BEC=∠AGC= ,∴ , 
            ∵∠ =∠ = ,∴A、B、 、 四点共圆,
    ∴ ,∴CE=CG,
    从而CE=CD=CG=CF,即E、F、D、G四点共圆,且圆心为C。
    证法二:设AE与BG的交点为H,则H为△ABC的垂心,
            由相交线定理得: , ,
            ∴ 。因此,E、F、D、G四点共圆,
            ∵BC、CA分别是DE、FG的中垂线,
    ∴BC、CA的交点C就是过E、F、D、G的圆心。
    17、(本小题15分)
    解:(1)由题意得, ,∵ ,∴ ;
    易得,E1: ;E2: ;L: .
    设A(x1,y1),D(x2,y2),则由 ,得 
    AD= =16
    (2)存在点P(0,1),使得PP1:PP2=1:2。理由略。
    18、(本小题15分)
    解:不存在。不妨设这六个不同的正整数为 , ,…, ( ),
    根据题意,从这六个数中任取两个组成一组,共有15组,
    于是 ,
    ∴ ,     ①
    ∵ 、 、45均是3的倍数,∴ 也是3的倍数,
    由 ,有 ,
    由①得: , , ,
    ∴ ,矛盾,
    因此,这样的六个数不存在。
    19、(本小题20分)
    证明:(1)连结OC、OA、OF,
              ∵AB=AC,O是△ABC的外心,
    ∴OA平分∠BAC,OA=OC,
    ∴∠OCA=∠OAC = ∠BAC= (180°-2∠B)=90°-∠B,
    ∵OE⊥CD,CD平分∠ACB,
    ∴∠OEC=90°-∠ECD=90°- ∠ACB=90°- ∠B,
    ∴∠EOC= ∠B,
    又∵EF∥AD,CD平分∠ACB,
    ∴∠CFE=∠CDA=∠ABC+∠DCB= ∠B,
    ∴∠EOC=∠CFE,∴C、E、O、F四点共圆;
    (2)∵O是△ABC的外心,∴∠AOC=2∠B,
         ∵C、E、O、F四点共圆,∴∠FOC=∠FEC=∠BAC,
         ∴∠FOC+∠AOC=∠BAC+2∠B=180°,
         ∴A、O、F三点共线;
    (3)∵C、E、O、F四点共圆,
    ∴∠OFE=∠OCE=∠OAC,
    ∴EA=EF。


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