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中学自主招生模拟考试数学试题
（考试时间：120分钟，总分150分）
一、选择题：（本大题共8题，每小题5分，共40分）
1、若 ，则 、 、 这三个数的大小顺序是（ ）
A、 B、
C、 D、
2、下列各值中最大的是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、若 、 、 都是有理数，则 、 的值是（ ）
A、二者均为有理数 B、二者均为无理数
C、一个为无理数，另一个为有理数 D、以上三种情况均在可能
4、设实数 、 、 满足 ， ，则 的值为（ ）
A、1 B、2 C、 D、
5、如图，在梯形ABCD中，AB//CD， ，AB＝9厘米，
BC＝8厘米，CD＝7厘米，M是AD的中点，从M作AD的垂线
交BC于N，则BN的长等于（ ）
A、1厘米 B、1.5厘米 C、2厘米 D、2.5厘米
6、分子为1，分母为大于1的自然数的分数叫做单位分数。若将 表示
分母不同的两个单位分数之和，则所有可能的表示组数有（ ）
A、1组 B、2组 C、3组 D、4组
7、已知 ，则 的解为（ ）
A、 或 B、 或
C、 或 D、
8、某程序框图如右图所示，现将输出（ ）值依次记为：
若程序运行中输出的
一个数组是 ，则数组中的 （ ）
A．64 B．32 C．16 D．8
二、填空题：（本大题共6小题，每小题6分，共36分）
9、已知 、 都是质数，且 、 也都是质数，则 = 。
10、已知 、 都是正实数， ， ，若 ，则 。
11、满足方程 所有实数解
为 。
12、如图，AB为半圆直径，P、Q两点在半圆上，PE⊥AB，
QF⊥AB，若AP•AQ=EF•AB，则 __________。
13、设 为整数，且 ，则 。
14、已知正整数 ， ，…， 满足 ， ，
则 的最大值为 。
三、解答题：（本题有5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
15、（本小题10分）设数列 ，
问：（1）这个数列第2010项的值是多少？
（2）在这个数列中，第2010个值为1的项的序号是多少？
16、（本小题14分）已知锐角△ABC，过点A作BC的垂线与以BC为直径的⊙ 分别交于点D、E；过点B作CA的垂线与以CA为直径的⊙ 分别交于点F、G。
证明：E、F、D、G四点共圆，并确定圆心的位置。
17、（本小题15分）已知一次函数 ，二次函数 和 的图象分别为 、E1、E2， 交E1于B、C两点，且满足下列条件：① b为整数；
② B( )，C( )．③ 两个二次函数的最小值差为l．
（1）如 与E2交于A、D两点，求 的值．
（2）问是否存在一点P，从P出发作一射线分别交E1、E2于P1，P2，使得P P1：P P2
为常数，并简述你的理由。
18、（本小题15分）是否存在六个互不相同的正整数满足以下条件：从中任取两个数组成一组，并在同一组中用较大的数减去较小的数，再将各组所得的差相加，其和恰好等于45，且最大的数与最小的数之差能被3整除？若存在，请求出这六个数；若不存在，请说明理由。
19、（本小题20分）如图，在锐角△ABC中，AB=AC，∠ACB的平分线与AB交于点D，过△ABC的外心O作CD的垂线与AC交于点E，过E作AB的平行线CD交于点F。证明：（1）C、E、O、F四点共圆；（2）A、O、F三点共线；（3）EA=EF。
2012年温州中学自主招生模拟考试数学试题参考答案
一、选择题：（本大题共8题，每小题5分，共40分）
1、B 2、C 3、A 4、C 5、C 6、C 7、C 8、B
7、解答：不等式的左端看成 的一次函数，
由 或 。正确答案为C。
二、填空题：（本大题共6小题，每小题6分，共36分）
9、17 10、 11、 12、 13、3或57 14、193
13、将 代入 ，得到 ，
因为 都是整数，所以
前两个方程组无解；后两个方程组解得 。
所以 3或57。
14、为了使 最大， ， ，…， 应尽可能小， ， ，…， 应尽可能接近 ，
故取 ， ，…， 分别为1，2，…，8，其和为36。
设 ， ，…， ，∴ 。
三、解答题：（本题有5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
15、（本小题10分）
解：（1）将数列分组：
因为1+2+3+…+62=1953；1+2+3+…+63=2016，
所以数列的第2010项属于第63组倒数第7个数，即为 。 --------- 5分
（2）由以上分组可以知道，每个奇数组中出现一个1，
所以第2010个1出现在第4019组，而第4019组中的1位于该组第2010位，
所以第2010个值为1的项的序号为（1+2+3+…+4018）+2010=809428。 --- 10分
16、（本小题14分）
证法一：∵BC、CA分别是DE、FG的中垂线，∴CD=CE，CF=CG，
∵∠BEC=∠AGC= ，∴ ，
∵∠ =∠ = ，∴A、B、 、 四点共圆，
∴ ，∴CE=CG，
从而CE=CD=CG=CF，即E、F、D、G四点共圆，且圆心为C。
证法二：设AE与BG的交点为H，则H为△ABC的垂心，
由相交线定理得： ， ，
∴ 。因此，E、F、D、G四点共圆，
∵BC、CA分别是DE、FG的中垂线，
∴BC、CA的交点C就是过E、F、D、G的圆心。
17、（本小题15分）
解：（1）由题意得， ，∵ ，∴ ；
易得，E1： ；E2： ；L: .
设A（x1，y1），D（x2，y2），则由 ，得
AD= =16
（2）存在点P（0，1），使得PP1：PP2=1：2。理由略。
18、（本小题15分）
解：不存在。不妨设这六个不同的正整数为 ， ，…， （ ），
根据题意，从这六个数中任取两个组成一组，共有15组，
于是 ，
∴ ， ①
∵ 、 、45均是3的倍数，∴ 也是3的倍数，
由 ，有 ，
由①得： ， ， ，
∴ ，矛盾，
因此，这样的六个数不存在。
19、（本小题20分）
证明：（1）连结OC、OA、OF，
∵AB=AC，O是△ABC的外心，
∴OA平分∠BAC，OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC = ∠BAC= （180°－2∠B）=90°－∠B，
∵OE⊥CD，CD平分∠ACB，
∴∠OEC=90°－∠ECD=90°－ ∠ACB=90°－ ∠B，
∴∠EOC= ∠B，
又∵EF∥AD，CD平分∠ACB，
∴∠CFE=∠CDA=∠ABC+∠DCB= ∠B，
∴∠EOC=∠CFE，∴C、E、O、F四点共圆；
（2）∵O是△ABC的外心，∴∠AOC=2∠B，
∵C、E、O、F四点共圆，∴∠FOC=∠FEC=∠BAC，
∴∠FOC+∠AOC=∠BAC+2∠B=180°，
∴A、O、F三点共线；
（3）∵C、E、O、F四点共圆，
∴∠OFE=∠OCE=∠OAC，
∴EA=EF。
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