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（考试时间：120分钟，总分150分） 一、选择题：（本大题共8题，每小题5分，共40分） 1、若 ，则 、 、 这三个数的大小顺序是（ ） A、 B、 C、 D、 2、下列各值中最大的是（ ） A、 B、 C、 D、 3、若 、 、 都是有理数，则 、 的值是（ ） A、二者均为有理数 B、二者均为无理数 C、一个为无理数，另一个为有理数 D、以上三种情况均在可能 4、设实数 、 、 满足 ， ，则 的值为（ ） A、1 B、2 C、 D、 5、如图，在梯形ABCD中，AB//CD， ，AB＝9厘米， BC＝8厘米，CD＝7厘米，M是AD的中点，从M作AD的垂线 交BC于N，则BN的长等于（ ） A、1厘米 B、1.5厘米 C、2厘米 D、2.5厘米 6、分子为1，分母为大于1的自然数的分数叫做单位分数。若将 表示 分母不同的两个单位分数之和，则所有可能的表示组数有（ ） A、1组 B、2组 C、3组 D、4组 7、已知 ，则 的解为（ ） A、 或 B、 或 C、 或 D、 8、某程序框图如右图所示，现将输出（ ）值依次记为： 若程序运行中输出的 一个数组是 ，则数组中的 （ ） A．64 B．32 C．16 D．8 二、填空题：（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 9、已知 、 都是质数，且 、 也都是质数，则 = 。 10、已知 、 都是正实数， ， ，若 ，则 。 11、满足方程 所有实数解 为 。 12、如图，AB为半圆直径，P、Q两点在半圆上，PE⊥AB， QF⊥AB，若AP•AQ=EF•AB，则 __________。 13、设 为整数，且 ，则 。 14、已知正整数 ， ，…， 满足 ， ， 则 的最大值为 。 三、解答题：（本题有5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 15、（本小题10分）设数列 ， 问：（1）这个数列第2010项的值是多少？ （2）在这个数列中，第2010个值为1的项的序号是多少？ 16、（本小题14分）已知锐角△ABC，过点A作BC的垂线与以BC为直径的⊙ 分别交于点D、E；过点B作CA的垂线与以CA为直径的⊙ 分别交于点F、G。 证明：E、F、D、G四点共圆，并确定圆心的位置。 17、（本小题15分）已知一次函数 ，二次函数 和 的图象分别为 、E1、E2， 交E1于B、C两点，且满足下列条件：① b为整数； ② B( )，C( )．③ 两个二次函数的最小值差为l． （1）如 与E2交于A、D两点，求 的值． （2）问是否存在一点P，从P出发作一射线分别交E1、E2于P1，P2，使得P P1：P P2 为常数，并简述你的理由。 18、（本小题15分）是否存在六个互不相同的正整数满足以下条件：从中任取两个数组成一组，并在同一组中用较大的数减去较小的数，再将各组所得的差相加，其和恰好等于45，且最大的数与最小的数之差能被3整除？若存在，请求出这六个数；若不存在，请说明理由。 19、（本小题20分）如图，在锐角△ABC中，AB=AC，∠ACB的平分线与AB交于点D，过△ABC的外心O作CD的垂线与AC交于点E，过E作AB的平行线CD交于点F。证明：（1）C、E、O、F四点共圆；（2）A、O、F三点共线；（3）EA=EF。 2012年温州中学自主招生模拟考试数学试题参考答案 一、选择题：（本大题共8题，每小题5分，共40分） 1、B 2、C 3、A 4、C 5、C 6、C 7、C 8、B 7、解答：不等式的左端看成 的一次函数， 由 或 。正确答案为C。 二、填空题：（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 9、17 10、 11、 12、 13、3或57 14、193 13、将 代入 ，得到 ， 因为 都是整数，所以 前两个方程组无解；后两个方程组解得 。 所以 3或57。 14、为了使 最大， ， ，…， 应尽可能小， ， ，…， 应尽可能接近 ， 故取 ， ，…， 分别为1，2，…，8，其和为36。 设 ， ，…， ，∴ 。 三、解答题：（本题有5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 15、（本小题10分） 解：（1）将数列分组： 因为1+2+3+…+62=1953；1+2+3+…+63=2016， 所以数列的第2010项属于第63组倒数第7个数，即为 。 --------- 5分 （2）由以上分组可以知道，每个奇数组中出现一个1， 所以第2010个1出现在第4019组，而第4019组中的1位于该组第2010位， 所以第2010个值为1的项的序号为（1+2+3+…+4018）+2010=809428。 --- 10分 16、（本小题14分） 证法一：∵BC、CA分别是DE、FG的中垂线，∴CD=CE，CF=CG， ∵∠BEC=∠AGC= ，∴ ， ∵∠ =∠ = ，∴A、B、 、 四点共圆， ∴ ，∴CE=CG， 从而CE=CD=CG=CF，即E、F、D、G四点共圆，且圆心为C。 证法二：设AE与BG的交点为H，则H为△ABC的垂心， 由相交线定理得： ， ， ∴ 。因此，E、F、D、G四点共圆， ∵BC、CA分别是DE、FG的中垂线， ∴BC、CA的交点C就是过E、F、D、G的圆心。 17、（本小题15分） 解：（1）由题意得， ，∵ ，∴ ； 易得，E1： ；E2： ；L: . 设A（x1，y1），D（x2，y2），则由 ，得 AD= =16 （2）存在点P（0，1），使得PP1：PP2=1：2。理由略。 18、（本小题15分） 解：不存在。不妨设这六个不同的正整数为 ， ，…， （ ）， 根据题意，从这六个数中任取两个组成一组，共有15组， 于是 ， ∴ ， ① ∵ 、 、45均是3的倍数，∴ 也是3的倍数， 由 ，有 ， 由①得： ， ， ， ∴ ，矛盾， 因此，这样的六个数不存在。 19、（本小题20分） 证明：（1）连结OC、OA、OF， ∵AB=AC，O是△ABC的外心， ∴OA平分∠BAC，OA=OC， ∴∠OCA=∠OAC = ∠BAC= （180°－2∠B）=90°－∠B， ∵OE⊥CD，CD平分∠ACB， ∴∠OEC=90°－∠ECD=90°－ ∠ACB=90°－ ∠B， ∴∠EOC= ∠B， 又∵EF∥AD，CD平分∠ACB， ∴∠CFE=∠CDA=∠ABC+∠DCB= ∠B， ∴∠EOC=∠CFE，∴C、E、O、F四点共圆； （2）∵O是△ABC的外心，∴∠AOC=2∠B， ∵C、E、O、F四点共圆，∴∠FOC=∠FEC=∠BAC， ∴∠FOC+∠AOC=∠BAC+2∠B=180°， ∴A、O、F三点共线； （3）∵C、E、O、F四点共圆， ∴∠OFE=∠OCE=∠OAC， ∴EA=EF。 |
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