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切线的判定定理
教学目标
1.使学生掌握切线的判定定理，并能初步运用它解决有关问题；
2.通过判定定理的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力；
3.通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性.
教学重点和难点
切线的判定定理是重点；定理的运用中，辅助线的添加方法是难点.
教学过程设计
一、从学生已有的知识结构提出问题
1.投影打出直线与圆的三种位置关系.(图7-102)
根据图7-102，请学生回答以下问题
(1)在图7-102中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l分别和⊙O是什么关系?
学生：分别相交、相切、相离.
(2)在上边三个图中，哪个图中的直线l是圆的切线?你是怎样判定的?
学生：图(2)中直线l是⊙O的切线.根据切线的定义判定.
教师指出：根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很
不方便，为此我们还要学习切线的判定定理.(板书课题)
二、师生共同探讨、发现定理
1.让学生在纸上、教师在黑板上画⊙O，在⊙O上任取一点A，连结OA，过A点作直线l⊥
OA，作完后，提问：直线l是否与⊙O相切呢?
启发学生得出结论：由于圆心O到直线l的距离等于半径，即d＝r，因此直线l一定与圆相切.
请学生回顾作图过程，切线l是如何作出来的?它满足哪些条件?
引导学生总结出：①经过半径外端；②垂直于这条半径.
从而得到切线的判定定理.(板书定理)
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?
学生回答后，教师指出：定理中的两个条件缺一不可.(投影打出两个反例图7-103)
图(1)中直线l经过半径外端，但不与半径垂直；
图(2)中直线l与半径垂直，但不经过半径外端.
从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线.
最后引导学生分析，定理实际上是从前一节所讲的“圆心到直线的距离等于半径时直线
和圆相切”这个结论直接得出来的，只是为了便于应用把它改写成“经过半径的外端，并且
垂直于这条半径的直线是圆的切线”这种形式.因此，定理不必另加证明.
三、应用定理，强化训练
例1 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB.(图7-104)
求证：直线AB是⊙O的切线.
分析：欲证AB是⊙O的切线.由于AB过圆上点C，若连结OC，则AB过半径OC的外端.因此只需证明OC⊥AB，因OA＝OB，CA＝CB，易证OC⊥AB.
证明：(学生口述，教师板演)
例2 如图7-105，已知OA＝OB＝5厘米，AB＝8厘米，⊙O的直径为6厘米.
求证：AB与⊙O相切.
分析：因为已知条件没给出AB和⊙O有公共点，所以可过圆心O作OC⊥AB，垂足为C.只需证明OC等于⊙O的半径3厘米即可.
证明：过O作OC⊥AB，垂足为C.
因为OA＝OB＝5厘米，AB＝8厘米，所以AC＝BC＝4厘米.
因此在RtAOC中，OC＝＝3(厘米).
又因为⊙O的直径长为6厘米，
故OC的长等于⊙O的半径3厘米.
所以AB与⊙O相切.
完成以上两个例题后，让学生思考：以上两例辅助线的作法是否相同?有什么规律吗?
在学生回答的基础上，师生一起归纳出以下规律：
(1)若直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证直线与半径
垂直.
(2)当直线与圆并没明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”，再证
圆心到直线的距离等于半径.
练习1 判断下列命题是否正确.(投影打出)
(1)经过半径外端的直线是圆的切线.
(2)垂直于半径的直线是圆的切线.
(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.
(4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线.
(5)以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切.
采取学生抢答的形式进行，并要求说明理由，教师给予及时肯定或纠正.
练习2 如图7-106，⊙O的半径为8厘米，圆内弦AB＝83厘米，以O为圆心，4厘米为半径作小圆，求证：小圆与直线AB相切.
练习3 如图7-107，已知AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30°.
求证：DC是⊙O的切线.
练习2和练习3请两名学生上黑板板演，教师巡视，个别辅导.
四、小结
提问：这节课主要学习了哪些内容?需要注意什么问题?
在学生回答的基础上，教师总结：
主要学习了切线的判定定理.着重分析了定理成立的条件，在应用定理时，注重两个条
件缺一不可.
判定一条直线是圆的切线，有三种方法：
(1)根据切线定义判定.即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线.
(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.
(3)根据切线的判定定理来判定，即经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的
切线.
其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同.解题时，灵活选用其中之一.
证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线.如果已知直线过圆上某一点，则作出过
这一点的半径，证明直线垂直于半径(如例1)；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆
心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径(如例2).
五、布置作业
课本p.115习题7.3A组4、5题.
板书设计
课堂教学设计说明
这份教案为1课时，在新课的引入上，抓住新旧知识的联系，在例题的配备上补充了例2，目的是为了说明圆的切线问题中常见的两种题型，以及相应辅助线的作法.
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公告：