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数学的神奇与魅力
————《神奇的莫比乌斯圈》教学案例
【教学设想】
《神奇的莫比乌斯圈》是人教版四年级上册新增的一节数学活动课，其内容属于《拓扑学》的范畴，对小学生来说不太好理解，但其内容又是最能激发学生学习兴趣，拓展数学视野、建构高效课堂的好题材。
本课通过课始的“魔术”表演，创设宽松的课堂氛围，然后让学生在动手“做一做”的过程中，感受莫比乌斯圈“只有一条边、一个面”的特点，从而揭示课题；课中设计了沿1/2线、1/3线剪两个活动情境，学生在大胆猜想、细心求证的方法引导下，通过“猜一猜、剪一剪”等实践活动，充分感受了莫比乌斯圈的神奇之处；课尾的自主创造和图片欣赏，让学生进一步感受莫比乌斯圈的无穷魅力，引发学生继续探究的欲望；最后用国际数学大师陈省身教授的题词“数学好玩”来激发学生学好数学的自信心。
酸甜苦辣都有营养，成功失败都是收获。谁能百分之百的肯定，将来的某一天，《拓扑学》的重大发现，不是由于这节课的启蒙呢？
教学内容：人教版四年级上册实践与综合应用活动课
教学目标：
１．让学生在做一做的实践活动中，经历莫比乌斯圈的形成过程，了解其特点。
2．在猜一猜、剪一剪的活动中，探究出莫比乌斯圈的奇异性质。
3．引领学生感受数学的神奇与魅力，培养学生大胆猜想，细心求证的科学学习方法。
教学重难点：
认识莫比乌斯圈及其性质，感受数学的神奇与魅力。
教具：
每人两张长方形的纸条（①号纸条画出中线，②号纸条画出三等分线）、剪刀、胶水、水彩笔。
教学过程：
一、认识莫比乌斯圈
1．魔术引入
师：小朋友们，你们喜欢看魔术表演吗？老师表演一个怎么样？老师表演的魔术是与数学有关的，请看这是一张长方形的纸条，谁来说说它有几条边，几个面？(４条边，两个面。)
师：现在我能把它变成两条边两个面的图形，相信吗？见证奇迹的时刻到了，请看（师把长方形的纸条变成纸圈。）瞧，几条边，几个面？（两条边，两个面）
师：有的孩子觉得太简单，那来点复杂的怎么样？还是这张长方形的纸条，现在我能把它变成只有一条边一个面的图形？你信吗？要不你们先试试看，拿出１号纸条，动手做一做。
学生尝试变一变。
师:有结果了吗？请看（教师展示做法后，出示课件），模仿它的样子试着做一做。
学生模仿做纸圈，教师相机指导。
指名做成功的孩子介绍方法：先把长方形的纸条做成普通的纸圈，然后一端不动，把另一端翻个身，扭转１８０°，再把两端粘紧。（没成功的孩子跟着一起做）
２．探究特点
（１）（师举着莫比乌斯圈）明明是两条边，两个面，为什么说只有一条边一个面呢？我们可以怎样验证？
指名学生说出验证方法。
师：尊重你的想法，用彩笔沿着它的边画一画，看究竟有几条边？学生验证后发现彩笔从起点又回到起点了。
师:这说明什么问题？（这个纸圈只有一条边）
师：那面呢？也可以这样验证吗？继续求证。
学生验证后也发现彩笔从起点又回到了起点。
小结：通过验证我们知道这个纸圈只有一条边、一个面。
（板书：只有一条边一个面）
（２）看似两条边两个面，为什么只有一条边一个面呢？
师：请小朋友拿出２号纸条做一做，边做边思考：为什么会变成一条边、一个面？
学生再把2号纸条做成莫比乌斯圈，重点关注形成过程中边和面的变化。
小结：纸圈的一端经过扭转１８０°度，正面和反面连接成了一个面，上边和下边连接成了一条边，所以我们就说这个纸圈只有一条边、一个面。
３．揭示课题
师：有谁知道这个奇怪的纸圈叫什么名字？（板书课题：莫比乌斯圈）
为什么叫莫比乌斯圈呢，请看大屏幕。（课件介绍德国数学家莫比乌斯圈在１８５８年一个偶然的机会发现了这个只有一条边一个面的纸圈，后来人们就把它称之为莫比乌斯圈。）
【设计意图：以“一张纸条变魔术”引入新课，让学生真切地感受到莫比乌斯圈像魔术般神奇的变化，为学生琢磨其中的奥妙做了巧妙的铺垫。在这个变化过程中，我并不是将莫比乌斯圈和盘托出，而是给学生提供充分地思考与操作的时空，让学生在操作中初步感受莫比乌斯圈的神奇。】
过渡：小朋友，一个伟大的发现在不经意间就产生了，只是我们没想到，还有更没想到的呢！想继续研究吗？
二、探究莫比乌斯圈的性质
活动（一）：沿1/2线剪
师：观察１号纸圈上的中线，请你大胆猜想，如果沿着这条中线剪下去，会得到什么？
预设：大部分孩子的猜想都是得到两个圈。
师：怎样验证我们的猜想？（剪一剪）
教师强调不能剪断，并介绍剪法。
学生沿着莫比乌斯圈的中线剪，剪完后发现不是两个圈，而是一个大圈。
师：这个大圈还是莫比乌斯圈吗？
预设：有生说是，有生说不是。
师：意见不统一，请你继续求证。
学生用画一画的方法验证是不是只有一条边、一个面。
小结：我们沿着莫比乌斯圈的中线剪开，得到一个大圈，但并不是莫比乌斯圈．可见，研究问题，不能仅靠大但猜想，还需细心求证。
活动（二）：沿1/3线剪
师：拿出２号纸圈，2号纸条课前被我们平均分成了３份，中间还涂上了我们喜欢的颜色。如果我们沿着三等分的线把莫比乌斯圈剪开，猜一猜，又会得到什么？
学生说出自己的猜想后动手试一试，教师相机指导。
师：谁来说说你的发现？
（预设：大部分学生发出惊叹，因为两条线只需剪一次，并且得到两个圈，还是一大一小。）
师：都是莫比乌斯圈？为什么？
小结：我们沿着莫比乌斯圈的三等分线剪下去，得到一个大圈和一个小的莫比乌斯圈。
【设计意图：学生从沿着莫比乌斯圈的1/2线剪开的实践中剪出了兴致，教师顺势设疑“如果我们沿着三等分线剪开，结果会怎么样呢？” 学生的学习热情
又一次被点燃，而操作结果是变成了大小两个纸圈，并且套在一起，再一次出乎意料之外，这一过程，学生始终沉浸在猜想与探究的快乐中。做与学，学与思，思与疑，疑与悟，纵横交错，学生被莫比乌斯圈的神奇深深吸引。】
过渡：小朋友们，一张普通的长方形纸条，让我们见证了数学的无穷魅力，更让我们感受到了莫比乌斯圈的神奇。（完善课题：神奇的莫比乌斯圈）
三、应用莫比乌斯圈
1．自主创造
师:现在请小朋友们想一想，神奇的莫比乌斯圈在我们的生活中能发挥怎样的作用？
学生找生活中应用莫比乌斯圈原理设计的磁带、打印机的色带等。
2．欣赏图片
师：老师收集了一些图片，让我们一起欣赏。（课件演示，老师解说）
（1）这是莫比乌斯圈爬梯，猜猜小蚂蚁在上面会有怎样的奇遇。
（2）这是２００７年世界特殊奥林匹克运动会上的“莫比乌斯圈”，象征了“转换一种生命方式，您将获得无限发展”的人生理念。
（3）这是特殊奥林匹克运动会会标的纪念雕塑，上面的“莫比乌斯圈”生动的诠释了“无限发展”的奥运理念。
（4）中国科技馆展厅里的三叶纽结就是根据莫比乌斯圈的原理设计的，它每天不停地旋转，美妙的曲线，给勇于探索的人们带来瞬间的灵感和无尽的遐想。
【设计意图：从数学到现实，既朴实又有新意，把前几个环节学生探索学习到的知识引回到现实之中，又一次激起了学生的兴奋，学生在兴奋之时能真切地体验到数学就在自己身边，数学是有用的；而应用图声并茂的动态课件，既让学生体验数学之美，又让学生在丰富的想像中产生不断探索未知的欲望。】
四、总结延伸
师：通过这节课的学习，你有哪些收获？
学生谈收获，教师相机提问：如果把纸条的一端扭转３６０°或５４０°还是莫比乌斯圈吗？有兴趣的孩子课后可以继续探究，将研究的结果写成数学日记，相信小朋友们会有更神奇的发现。
师：最后，把国际数学大师陈省身教授的一句名言送给在座的每一位：数学好玩（课件出示）！
【设计意图：陈省身教授的一句名言似点睛之笔，简明扼要地点出本课思想：数学好玩！在意犹未尽中一节课结束了，但学生的思考和探索却没有止步，而向纵深处延伸。
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