函数y=Asin(ωx+φ)的图象教学设计

1、教学目标：

知识目标：

①理解三个参数A、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响；

②揭示函数y=Asin(ωx+φ)的图象与正弦曲线的变换关系。

能力目标：

①增强学生的作图能力；

②通过探究变换过程，使学生了解由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想；

③在难点突破环节，培养学生全面分析、抽象、概括的能力。

情感目标：

在自主探究的过程中，培养学生勇于探索的精神和善于合作的意识。

2、教学重点、难点：

重点：由正弦曲线变换得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象。

难点：当φ≠1时，函数y=Asin(ωx+φ₁)与函数y=Asin(ωx+φ₂)的图象关系。

关键：理解三个参数A、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响。

3、教学方法与手段：

教学方法：开放式探究、启发式引导、互动式讨论、反馈式评价

学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。

教学手段：运用多媒体网络教学平台，构建学生自主探究的教学环境。

4、教学过程：

整个教学过程是“以问题为载体，以学生活动为主线”进行的。

（一）创设情境

动画演示： 《用沙摆演示简谐运动的图象》

【设计意图】采用《用沙摆演示简谐运动的图象》引出函数y=Asin(ωx+φ)的图象，体现该函数图象与生活实际的紧密联系；通过展示函数图象在四个方面的用途，体现函数图象在物理学上的重要性，激发学生研究该函数图象的兴趣。

同时，引出本节课的研究问题——函数y=Asin(ωx+φ)的图象与正弦曲线有什么关系呢？

（二）建构数学

1、复习巩固；

评讲作业——作出函数y= y=3sin(2x+ '> 蟺'>/3)在一个周期内的简图。

【设计意图】以作业讲评的方式复习巩固五点作图法，并以函数y=3sin(2x+ '> 蟺'>/3)作为具体研究对象，那么这个函数图象，恰可作为后面变换结果的检验依据。

2、自主探究；

由正弦曲线如何变化得到函数y=3sing(2x+ '> 蟺'>/3)的图象？

【设计意图】观察函数解析式y=3sin(2x+ '> 蟺'>/3)学生容易发现三个参数、、都发生了变化，根据已有的知识基础，他们很清楚需要进行怎样的三种变换。自然恰当地提出本节的核心问题——三种变换能否任意排序呢？

①   问题提出：三种变换能否任意排序？

②   实验探究

通过精心制作的课件，结合我校数学活动室多媒体网络教学环境，我为学生提供了这样的探究平台，在这个平台中我给出了正弦曲线一个周期内的图象，并用五点作图法绘出了函数y=3sin(2x+ '> 蟺'>/3)在一个周期内的图象；同时提供了三种变换的6种不同排列方式；学生可以选择不同变换方式进行探究，观察所选变换方式得到的图象与五点作图法绘出的图象是否重合，以此检验所选变换方式的正确性。

A、自主实验，形成初步结论.

经过尝试、观察，有些学生所选变换方式得到的图象与五点作图法绘出图象重合；有些学生所选变换方式得到的图象与五点作图法绘出图象不重合；

形成初步结论：“三种变换不可以任意排列”、“有的排列方式得到的图象与五点法绘出图象不重合”。

B、深入探究，讨论分析；

请学生结合教学平台讨论以下两个问题：

问题1：得到不重合的图象的变换方式有什么共同点？

（共同点是先进行周期变换后进行平移变换，而且平移量过大。）

问题2：得到不重合图象的原因是三种变换顺序错了？还是变换中某个量错了？

（这与顺序无关，只要将平移量由蟺'> /3)改为蟺'> /6即可得到重合的图象。）

C、实验小结，形成结论；

顺序可任意改变；需要注意不同顺序中平移量的不同。先平移变换后周期变换时，需向左平移蟺'> /3个单位；先周期变换后平移变换时，需向左平移蟺'> /6个单位而不是蟺'> /3个单位。

③规律探究

问题3 ：先周期变换后平移变换时，平移量为什么不是蟺'> /3，而是蟺'> /6？

（平移量变成蟺'> /6的主要原因在于ω=2。）

（请学生继续尝试ω=3和ω=1/2的情况。鉴于教材不要求证明，由不完全归纳法得出规律：先进行周期变换后进行平移变换时应该平移φ/ω=个单位。平移量是由 的改变量确定的。）

问题4 ：为避免繁琐，直接平移φ个单位，采用怎样的顺序较好？

（先进行平移变换后进行周期变换比较好。）

3、规律总结

①由正弦曲线变换到函数y=Asin(ωx+φ)的图象需要进行三种变换，顺序可任意改变；先平移变换后周期变换时平移∣φ∣个单位，先周期变换后平移变换时平移∣φ/ω∣个单位。

 

②常用变换顺序——先平移变换再周期变换后振幅变换（平移的量只与φ有关）。

（三）知识运用

巩固强化：

请准确叙述由正弦曲线变换得到下列函数图象的过程？

1、y=sin(4x-蟺'> /3)/2       2、y=2sin(x/3+ '> 蟺'>/6)

变式训练：

1、已知函数y=sin(4x+2蟺'> /3)/5的图象为C，为了得到函数y=2sin(4x+2蟺'> /3)的图象，只需把C的所有点（ ）

A、横坐标伸长到原来的10倍，纵坐标不变。        B、横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变。

C、纵坐标伸长到原来的10倍，横坐标不变。        D、纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变。

2、已知函数y=sin(4x+2蟺'> /3)/5的图象为C，为了得到函数y=sin(x+2蟺'> /3)/5的图象，只需把C的所有点（ ）

A、横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变。         B、横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变。

C、纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变。         D、纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变。

（四）归纳总结（师生共同归纳）

1、正弦曲线变换得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象——顺序可任意，平移要注意；

常常是平移、周期再振幅；

2、余弦曲线变换得到函数y=Acos (ωx+φ)的图象——作法全相同。

5、教学说明：

本节课是苏教版必修4第8章第3节第3课时；它是函数图象伸缩平移变换的特例，是初等数学一般函数图象变换的基础，是高考的热点、难点；它是在完成了“正弦函数、余弦函数的图象和性质，五点作图法，图象的三种基本变换”等内容的教学之后进行的，主要揭示了由正弦曲线得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象的一种思维过程。

按照传统方法解决这一问题，每一种变换方式，教师要手绘四条函数图象，彻底解决这一问题，有6种情况，24条图象，这对教师的作图能力提出很高的要求；同时，也要求学生有较强的理解能力，从静态的图片中去体会伸长和缩短的形变过程。

针对上述情况，我精心设计制作了教学课件，直观形象地展示形变过程。化抽象为具体，由静到动，使学生真实体验“变”的过程。同时结合我校数学活动室的多媒体网络教学环境，为学生构建自主探究与合作交流的平台。最终利用由特殊到一般的化归思想，借助具体函数的结论归纳出一般函数的结论。