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等差数列优质课教案

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高中数学优质课教案

等差数列
 [教学目标]
1.知识与技能目标:掌握等差数列的概念;理解等差数列的通项公式的推导过程;了解 等差数列的函数特征;能用等差数列的通项公式解决相应的一些问题。
2.过程与方法目标:让学生亲身经历“从特殊入手,研究对象的性质,再逐步扩大到一般”这一研究过程,培养他们观察、分析、归纳、推理的能力。通过阶梯性的强化练习,培养学生分析问题解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标:通过对等差数列的研究,培养学生主动探索、勇于发现的求索精神;使学生逐步养成细心观察、认真分析、及时总结的好习惯。
[教学重难点]感
 1.教学重点:等差数列的概念的理解,通项公式的推导及应用。
2.教学难点:(1)对等差数列中“等差”两字的把握;
           (2)等差数列通项公式的推导。
[教学过程]
一.课题引入
创设情境 引入课题:(这节课我们将学习一类特殊的数列,下面我们看这样一些例子)
(1)、在过去的三百多年里,人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星:
1682,1758,1834,1910,1986,(  )
你能预测出下次观测到哈雷慧星的大致时间吗?判断的依据是什么呢?
(2)、通常情况下,从地面到11km的高空,气温随高度的变化而变化符合一定的规律,请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的温度。
 
思考:依据前面的规律, 填写(3)、(4):
(3)  1,4,7,10,(   ),16,…
(4)  2,0,-2,-4,-6,(   ),…
它们共同的规律是?
从第二项起,每一项与前一项的差等于同一个常数。
我们把有这一特点的数列叫做等差数列。
二、新课探究
(一)等差数列的定义
1、等差数列的定义
如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列。这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d来表示。
(1)定义中的关健词有哪些?
(2)公差d是哪两个数的差?
2、等差数列定义的数学表达式: 
 试一试:它们是等差数列吗?  
 (1)  1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10…
(2)   5,5,5,5,5,5,…
(3)   -1,-3,-5,-7,-9,…
(4)   数列{an},若an+1-an=3
3、等差中顶定义
在如下的两个数之间,插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列:
(1)、2 ,(    )  ,4  (2)、-12,(    ) ,0 ( 3 )  a ,(     ),b
如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项。
(二)等差数列的通项公式
探究1:等差数列的通项公式(求法一)
如果等差数列 首项是 ,公差是 ,那么这个等差数列 如何表示? 呢?
根据等差数列的定义可得:
            , , ,…。
    所以: ,
           ,
           ,
           ……
由此得 ,
因此等差数列的通项公式就是:  ,
探究2:等差数列的通项公式(求法二)
根据等差数列的定义可得:
 
 
……
 
 
将以上 -1个式子相加得等差数列的通项公式就是:  ,
三、应用与探索
例1、(1)  求等差数列8,5,2,…,的第20项。
(2)  等差数列 -5,-9,-13,…,的第几项是 –401?
 
(2)、分析:要判断-401是不是数列的项,关键是求出通项公式,并判断是否存在正整数n,使得 成立,实质上是要求方程 的正整数解。
 
例2、在等差数列中,已知 =10, =31,求首项 与公差d.
解:由 ,得 。
在应用等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d过程中,对an,a1,n,d这四个变量,知道其中三个量就可以求余下的一个量,这是一种方程的思想。   
巩固练习
1. 等差数列{an}的前三项依次为 a-6,-3a-5,-10a-1,则a =(   )。
      A. 1           B. -1           C.  -2            D.  2
2.一张梯子最高一级宽33cm,最低一级宽110cm,中间还有10级,各级的宽度成等差数列。求公差d。
 
 
四、小结
1.等差数列的通项公式: 
公差 ;
2. 等差数列的计算问题,通常知道其中三个量就可以利用通项公式an=a1+(n-1)d,求余下的一个量;
3. 判断一个数列是否为等差数列只需看 是否为常数即可;
4. 利用从特殊到一般的思维去发现数学系规律或解决数学问题.
五、作业:
1、必做题:课本第40页  习题2.2   第1,3,5题
2、选做题:如何以最快的速度求:1+2+3+•••+100=
高斯说:“请同学们预习下一节:等差数列的前N项和。”

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