椭圆及其标准方程优秀教学设计

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椭圆及其标准方程（教学设计）

教材：人教A版数学选修2-1第二章第二节

一、教学目标：

1．知识与能力目标：掌握椭圆的定义及其标准方程。

2．过程与方法目标：通过自我探究，提高学生实际动手、合作学习以及运用知识解决实际问题的能力，培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力。

3．情感态度与价值观目标：通过课堂活动参与，激发学生学习数学的兴趣，提高学生的审美情趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。

二、教学重点、难点：

1．重点：理解椭圆的定义并掌握椭圆的其标准方程

2．难点：椭圆标准方程的推导

三、教学方法与手段：

1．教法：采用探究式教学方法，即“问题诱导——启发讨论——探索结果”以及“直观观察——归纳抽象——总结规律”。

2．学法：动手实验、自主探究、合作交流。

力求体现教师是课堂教学活动的设计者、引导者、合作者的作用，同时突出学生的主体地位，让每一个学生充分地参与到学习活动中来，增强学习的兴趣和信心。

3．教学手段：多媒体辅助教学

学生准备：一支铅笔、两个图钉、一根细绳、一张A4纸

教师准备：用几何画板制作的相关课件、圆柱形水杯

四、教学过程：

（一）创设情境，引出课题

情境1：展示全民关注的“嫦娥三号”运行轨道图片。2013年12月2日1时30分，“嫦娥三号”探测器在西昌卫星发射中心成功发射，圆了中国人千年的“登月梦”。10日21时20分，嫦娥三号从环月圆轨道降至什么轨道（椭圆轨道），从而首次实现月球表面软着陆？就此引出课题。

情境2：展示一些生活中椭圆形物体图片,让学生体会到数学既来源于生活，又服务于生活，如让学生观察圆形杯子水平或倾斜放置时水面的图形。

（二）动手实验，归纳概念　

学生：拿出事先准备好的自制教具：A4纸、细绳、图钉、铅笔，同桌一起合作画椭圆。

学生：在画椭圆的过程中，让学生思考：哪些量没变？哪些量发生了变化？绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？

教师：借助几何画板直观演示画椭圆。

学生：动手实验，观察思考，小组合作交流，并在教师的引导下，学生总结归纳出椭圆的定义：平面内与两个定点、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。定点、叫做椭圆的焦点，、间的距离叫做椭圆的焦距。

教师：在归纳椭圆定义的过程中，教师根据学生回答的情况，不断引导他们逐步加深理解并完善椭圆的定义，在引导中突出体现“和”，“常数”及“常数”的范围等关键词与相应的特征。

教师：再次强调定义要满足三个条件：①平面内（这是大前提）；②任意一点到两个定点的距离的和等于常数；③常数大于

教师：展示动画，让学生思考当2a<2c或2a=2c时又表示怎样的图形？

学生：归纳出下列结论：

轨迹是椭圆；

轨迹是线段；

轨迹不存在。

（三）启发引导，推导方程

　教师：求曲线方程的一般步骤是什么？

学生：建、设、限、代、化

　教师：类比利用圆的对称性建立圆的方程的过程,如何利用椭圆的几何特征建立直角坐标系？

通过回忆旧知识，类比圆的学习方法，引导学生思考、相互交流，在恰当的时候进行点拨：建系一般应遵循“对称”、“简洁”的原则。此时，学生很容易选定下列2种建立坐标系的方案。

图1

以方案1为例：

建：如图以所在的直线为x轴，的中点为原点建立直角坐标系

设：设为椭圆上任意一点，焦距为，

则；又设

限：由椭圆定义，椭圆就是集合

代：

化：（为了突破难点，教师作如下提示：对于含有两个根式的方程怎样处理？直接平方好呢还是恰当整理后再平方？请学生分析后，让一位同学自愿上台板演，其他同学在下面可讨论完成）

两边平方，得：

整理得：

两边再次平方，得：

整理，得：

教师：教材中为什么要继续化简式并在方程引入一个新的常数b？

学生1：为了使方程看起来更简单，具有形式对称美。学生2：这方程类似于直线的截距式方程，便于记忆。

教师：肯定学生，并让学生观察椭圆图形（图2）中的这个特征三角形，数与形相结合，加深学生对方程中3个常数a,b,c关系的理解。图2

从而，令，则式可化简为，

整理，得

教师：指出方程叫做椭圆的标准方程，焦点在x轴上，焦点是。

（四）拓展引申，对比分析

学生观察动画并思考:刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆的标准方程，如何得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢？会发现，只要交换坐标轴就可以了，从而得到了焦点在y轴上的椭圆的标准方程：（ 0）
学生填写两种标准方程的对比表，并引导学生思考：已知椭圆标准方程，如何判断焦点位置？讨论得出：看，的分母大小，哪个分母大就在哪一条轴上。

（五）、例题讲解

例1、判断下列各椭圆的焦点位置，并说出以及焦点坐标。（学生口答）

① ② ③

例2、已知椭圆两个焦点的坐标分别为，并且经过点，求它的标准方程.（师生共同完成）

引导学生掌握求椭圆标准方程的两种方法：定义法、待定系数法。求方程时注意类型，培养学生运用知识解决问题的能力。

（六）课堂练习

已知椭圆的两个焦点坐标分别为(-4,0），（4,0），椭圆上一点P到两焦点距离和等于10，求椭圆的标准方程。

变式1：若将上题焦点改为(0，-4），（0,4），结果如何？

变式2：若将上题改为两焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点距离和等于10，结果如何？

（七）课堂小结

1. 主要学习了什么知识？（一个定义：椭圆的定义；两类方程：焦点分别在x轴、y轴的上的两个标准方程）

2. 应用了哪些解题方法？（定义法和待定系数法）

3. 学习了哪些数学思想？（数形结合、类比、分类讨论思想）

（八）作业布置

1.必做题：P49习题2.2A组第2题第（1）、（2）、（3）小题；

2．选做题（学生可借助网络资源、图书馆资源等自由探索）：

把椭圆定义中“平面内”改为“空间中”，即空间中与两个定点、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹是什么？

3.研究性作业：查找资料、搜集数据，求神州六号飞行的轨迹方程。

（九）板书设计

			2.2.1椭圆及其标准方程 1.椭圆的定义例2：（详写） 2.标准方程（1）焦点在x轴课堂练习：（2）焦点在y轴小结：(1)知识；(2)方法；(3)思想
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