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  • 名称

    高一实验班选拔考试数学卷

              高一实验班选拔考试数学卷 
    一、选择题(本题有6小题,每小题5分,共30分)下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内.
    1.(5分)在直角坐标系中,若一点的横坐标与纵坐标互为相反数,则该点一定不在(  )
      A. 直线y=﹣x上 B. 抛物线y=x2上 C. 直线y=x上 D. 双曲线xy=1上

    2.(5分)以等速度行驶的城际列车,若将速度提高25%,则相同距离的行车时间可节省k%,那么k的值是(  )
      A. 35 B. 30 C. 25 D. 20

    3.(5分)若﹣1<a<0,则 一定是(  )
      A.  最小,a3最大 B.  最小,a最大 C.  最小,a最大 D.  最小, 最大

    4.(5分)如图,将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°,得△ABF,连接EF交AB于H,则下列结论错误的是(  )
     
      A. AE⊥AF B. EF:AF= :1 C. AF2=FH•FE D. FB:FC=HB:EC

    5.(5分)在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,且CD与BE相交于点F,已知△BDF的面积为10,△BCF的面积为20,△CEF的面积为16,则四边形区域ADFE的面积等于(  )
      A. 22 B. 24 C. 36 D. 44

    6.(5分)某医院内科病房有护士15人,每2人一班,轮流值班,每8小时换班一次,某两人同值一班后,到下次两人再同班,最长需要的天数是(  )
      A. 30 B. 35 C. 56 D. 448

    二、填空题(本题有6个小题,每小题5分,共30分)
    7.(5分)已知∠A为锐角且4sin2A﹣4sinAcosA+cos2A=0,则tanA= _________ .

    8.(5分)在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后,A船以每小时12海浬的速度往南航行,B船则以每小时3海浬的速度向北漂流.则经过 _________ 小时后,观测站及A、B两船恰成一个直角三角形.

    9.(5分)如图,在坐标平面上,沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形,其长、宽分别为4、2,则通过A,B,C三点的拋物线对应的函数关系式是 _________ .
     

    10.(5分)桌面上有大小两颗球,相互靠在一起.已知大球的半径为20cm,小球半径5cm,则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于 _________  cm.

    11.(5分)物质A与物质B分别由点A(2,0)同时出发,沿正方形BCDE的周界做环绕运动,物质A按逆时针方向以1单位/秒等速运动,物质B按顺时针方向,以2单位/秒等速运动,则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是 _________ .
     

    12.(5分)设C1,C2,C3,…为一群圆,其作法如下:C1是半径为a的圆,在C1的圆内作四个相等的圆C2(如图),每个圆C2和圆C1都内切,且相邻的两个圆C2均外切,再在每一个圆C2中,用同样的方法作四个相等的圆C3,依此类推作出C4,C5,C6,…,则
    (1)圆C2的半径长等于 _________ (用a表示);
    (2)圆Ck的半径为 _________ (k为正整数,用a表示,不必证明)
     

    三、解答题(本题有4个小题,共60分)解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.
    13.(12分)如图,四边形ABCD内接于圆O,且AD是圆O的直径,DC与AB的延长线相交于E点,OC∥AB.
    (1)求证:AD=AE;
    (2)若OC=AB=4,求△BCE的面积.
     

    14.(14分)已知抛物线y=x2+2px+2p﹣2的顶点为M,
    (1)求证抛物线与x轴必有两个不同交点;
    (2)设抛物线与x轴的交点分别为A,B,求实数p的值使△ABM面积达到最小.

    15.(16分)某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表:
     胜一场 平一场 负一场
    积分 3 1 0
    奖励(元/每人) 1500 700 0
    (1)试判断A队胜、平、负各几场?
    (2)若每一场每名参赛队员均得出场费500元,设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W(元),试求W的最大值.

    16.(18分)已知:矩形ABCD(字母顺序如图)的边长AB=3,AD=2,将此矩形放在平面直角坐标系xOy中,使AB在x轴正半轴上,而矩形的其它两个顶点在第一象限,且直线y= x﹣1经过这两个顶点中的一个.
    (1)求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标;
    (2)以AB为直径作⊙M,经过A、B两点的抛物线,y=ax2+bx+c的顶点是P点.
    ①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部,求a的取值范围;
    ②过点C作⊙M的切线交AD于F点,当PF∥AB时,试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y= x﹣1的上方?还是下方?还是正好落在此直线上?并说明理由.
     

     

    2012年浙江省宁波市镇海中学高一实验班选拔考试数学卷
    参考答案与试题解析
     
    一、选择题(本题有6小题,每小题5分,共30分)下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内.
    1.(5分)在直角坐标系中,若一点的横坐标与纵坐标互为相反数,则该点一定不在(  )
      A. 直线y=﹣x上 B. 抛物线y=x2上 C. 直线y=x上 D. 双曲线xy=1上

    考点: 二次函数图象上点的坐标特征;一次函数图象上点的坐标特征;反比例函数图象上点的坐标特征。809397 
    分析: 根据相反数的概念及各函数图象上点的坐标特点解答即可.
    解答: 解:A、y=﹣x即表示x与y互为相反数,故本选项正确;
    B、例如(﹣1,1),就符合抛物线的解析式y=x2,故本选项正确;
    C、当该点坐标为(0,0)时,该点就在直线y=x上,故本选项正确;
    D、因为xy=1,所以x和y同号,该点不在双曲线xy=1上,故本选项错误.
    故选D.
    点评: 本题考查一定经过某点的函数应适合这个点的横纵坐标.根据函数不同特点,都对符号作出判断即可.

    2.(5分)以等速度行驶的城际列车,若将速度提高25%,则相同距离的行车时间可节省k%,那么k的值是(  )
      A. 35 B. 30 C. 25 D. 20

    考点: 分式方程的应用。809397 
    分析: 设距离为S,原来速度为v.分别表示现在速度、时间、原来的时间,根据“时间可节省k%”列方程求解.
    解答: 解:设距离为S,原来速度为v.则原来行车时间为 ;现在速度为(1+25%)v,时间为 .
    根据题意得 =k%.
    解得 k=20.
    故选D.
    点评: 此题考查列分式方程解应用题,难度在设参数,解字母系数的方程.

    3.(5分)若﹣1<a<0,则 一定是(  )
      A.  最小,a3最大 B.  最小,a最大 C.  最小,a最大 D.  最小, 最大

    考点: 实数大小比较。809397 
    分析: 在所给范围内选择一个具体的数,代入后比较即可.
    解答: 解:∵若﹣1<a<0,
    ∴a可取﹣0.001,
    那么a3=﹣0.000 000 0001,
     =﹣0.1,
     =﹣1000,
    ∴ 最小,a3最大,
    故选A.
    点评: 考查实数的大小比较;选择一个合适的具体的数,代入所给代数式比较,可以简化比较的步骤.

    4.(5分)如图,将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°,得△ABF,连接EF交AB于H,则下列结论错误的是(  )
     
      A. AE⊥AF B. EF:AF= :1 C. AF2=FH•FE D. FB:FC=HB:EC

    考点: 旋转的性质;正方形的性质;相似三角形的判定与性质。809397 
    分析: 由旋转得到△AFB≌△AED,根据相似三角对应边的比等于相似比,即可求得.
    解答: 解:由题意知,△AFB≌△AED
    ∴AF=AE,∠FAB=∠EAD,∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE=∠BAD=90°.
    ∴AE⊥AF,所以A正确;
    ∴△AEF是等腰直角三角形,有EF:AF= :1,所以B正确;
    ∵HB∥EC,
    ∴△FBH∽△FCE,
    ∴FB:FC=HB:EC,所以D正确.
    ∵△AEF与△AHF不相似,
    ∴AF2=FH•FE不正确.
    故选C.
    点评: 本题利用了正方形的性质,等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质求解.

    5.(5分)在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,且CD与BE相交于点F,已知△BDF的面积为10,△BCF的面积为20,△CEF的面积为16,则四边形区域ADFE的面积等于(  )
      A. 22 B. 24 C. 36 D. 44

    考点: 三角形的面积。809397 
    分析: 可设S△ADF=m,根据题中条件可得出三角形的面积与边长之间的关系,进而用m表示出△AEF,求出m的值,进而可得四边形的面积.
    解答: 解:如图,连AF,设S△ADF=m,
    ∵S△BDF:S△BCF=10:20=1:2=DF:CF,
    则有2m=S△AEF+S△EFC,
    S△AEF=2m﹣16,
    而S△BFC:S△EFC=20:16=5:4=BF:EF,
    又∵S△ABF:S△AEF=BF:EF=5:4,
    而S△ABF=m+S△BDF=m+10,
    ∴S△ABF:S△AEF=BF:EF=5:4=(m+10):(2m﹣16),
    解得m=20.
    S△AEF=2×20﹣16=24,
    SADEF=S△AEF+S△ADF=24+20=44.
    故选D.
     
    点评: 本题主要考查了三角形的面积计算问题,能够利用三角形的性质进行一些简单的计算.

    6.(5分)某医院内科病房有护士15人,每2人一班,轮流值班,每8小时换班一次,某两人同值一班后,到下次两人再同班,最长需要的天数是(  )
      A. 30 B. 35 C. 56 D. 448

    考点: 整数问题的综合运用。809397 
    专题: 数字问题。
    分析: 此题可运用排列组合解答,15人,每2人一班,轮流值班,则有C152=105种组合,一天是24小时,8小时1班,24除以3=每天3个班 再用105除以3=35天.
    解答: 解:由已知护士15人,每2人一班,轮流值班,
    得:有C152=105种组合,
    又已知每8小时换班一次,某两人同值一班后,到下次两人再同班,
    所以最长需要的天数是105÷(24÷8)=35(天).
    故选:B.
    点评: 此题考查的知识点是整数问题的综合运用,关键是先求出15人,每2人一班有多少种组合,再由每8小时换班一次,某两人同值一班后,到下次两人再同班求出最长需要的天数.

    二、填空题(本题有6个小题,每小题5分,共30分)
    7.(5分)已知∠A为锐角且4sin2A﹣4sinAcosA+cos2A=0,则tanA= 0.5 .

    考点: 锐角三角函数的定义;解一元二次方程-配方法。809397 
    专题: 计算题。
    分析: 先根据解一元二次方程的配方法,得出2sinA﹣cosA=0,再根据tanA的定义即可求出其值.
    解答: 解:由题意得:(2sinA﹣cosA)2=0,
    解得:2sinA﹣cosA=0,2sinA=cosA,
    ∴tanA= = =0.5.
    故答案为:0.5.
    点评: 本题考查了锐角三角函数的定义及利用配方法解一元二次方程的知识,比较简单,注意锐角三角函数定义的掌握.

    8.(5分)在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后,A船以每小时12海浬的速度往南航行,B船则以每小时3海浬的速度向北漂流.则经过 2 小时后,观测站及A、B两船恰成一个直角三角形.

    考点: 勾股定理的应用。809397 
    专题: 计算题。
    分析: 根据题意画出图形,设经过x小时后,观测站及A、B两船恰成一个直角三角形,在Rt△OBC、Rt△OCA和Rt△ABO中分别应用勾股定理,即可求出x的值.
    解答: 解:如下图所示,
    设经过x小时后,观测站及A、B两船恰成一个直角三角形,
    则BC=3x,AC=12x,
    在Rt△OBC中,根据勾股定理得:122+(3x)2=OB2;
    在Rt△OCA中,根据勾股定理得:122+(12x)2=AO2;
    在Rt△ABO中,根据勾股定理得:OB2+AO2=AB2=(15x)2;
    ∴122+(3x)2+122+(12x)2=(15x)2,
    解得:x=2或﹣2(舍去).
    即经过2小时后,观测站及A、B两船恰成一个直角三角形.
    故答案为:2.
     
    点评: 本题考查勾股定理的实际应用,难度适中,先根据题意画出图形是解题关键.

    9.(5分)如图,在坐标平面上,沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形,其长、宽分别为4、2,则通过A,B,C三点的拋物线对应的函数关系式是 y=﹣ x2﹣ x+  .
     

    考点: 二次函数综合题。809397 
    分析: 根据矩形的性质,利用矩形边长得出A,B,C三点的坐标,再利用待定系数法求出二次函数解析式即可.
    解答: 解:∵沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形,其长、宽分别为4、2,
    ∴A点的坐标为:(﹣4,2),B点的坐标为:(﹣2,6),C点的坐标为:(2,4),
    将A,B,C代入y=ax2+bx+c,
     ,
    解得: ,
    ∴二次函数解析式为:y=﹣ x2﹣ x+ .
    故答案为:y=﹣ x2﹣ x+ .
    点评: 此题主要考查了矩形的性质以及待定系数法求二次函数解析式,根据矩形边长得出A,B,C三点坐标是解决问题的关键.

    10.(5分)桌面上有大小两颗球,相互靠在一起.已知大球的半径为20cm,小球半径5cm,则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于 20  cm.

    考点: 相切两圆的性质。809397 
    分析: 首先根据题意作图,可得:⊙A与⊙B外切,⊙A,⊙B与CD分别相切于C,D,AC=20cm,BD=5cm,然后过点B作BE⊥AC,又由切线的性质,即可得四边形ECDB是矩形,则在Rt△AEB中,即可求得BE的长,即可求得这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离CD的长.
    解答: 解:如图,根据题意得:⊙A与⊙B外切,⊙A,⊙B与CD分别相切于C,D,AC=20cm,BD=5cm,
    ∴AB=25cm,AC⊥CD,BD⊥CD,
    ∴∠ACD=∠BDC=90°,
    过点B作BE⊥AC,
    ∴∠BEC=90°,
    ∴四边形ECDB是矩形,
    ∴BE=CD,EC=BD=5cm,
    ∴AE=AC﹣EC=15cm,
    在Rt△AEB中,BE= = =20(cm),
    ∴CD=20cm.
    故答案为:20.
     
    点评: 此题考查了外切两圆的性质,切线的性质,以及矩形的性质等知识.此题综合性较强,难度适中,解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法.

    11.(5分)物质A与物质B分别由点A(2,0)同时出发,沿正方形BCDE的周界做环绕运动,物质A按逆时针方向以1单位/秒等速运动,物质B按顺时针方向,以2单位/秒等速运动,则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是 (﹣ ,﹣2) .
     

    考点: 应用类问题。809397 
    专题: 规律型。
    分析: 此题利用行程问题中的相遇问题,由于正方形的边长为4,物质B是物质A的速度的2倍,求得每一次相遇的地点,找出规律即可解答.
    解答: 解:正方形的边长为4,因为物质B是物质A的速度的2倍,时间相同,物质A与物质B的路程比为1:2,由题意知:
    ①第一次相遇物质A与物质B行的路程和为16×1,物质A行的路程为16× = ,物质B行的路程为16× = ,在BC边相遇;
    ②第二次相遇物质A与物质B行的路程和为16×2,物质A行的路程为16×2× = ,物质B行的路程为16×2× = ,在DE边相遇;
    ③第三次相遇物质A与物质B行的路程和为16×3,物质A行的路程为16×3× =16,物质B行的路程为16×3× =32,在A点相遇;
    ④第四次相遇物质A与物质B行的路程和为16×4,物质A行的路程为16×4× = ,物质B行的路程为16×4× = ,在BC边相遇;
    ⑤第五次相遇物质A与物质B行的路程和为16×5,物质A行的路程为16×5× = ,物质B行的路程为16×5× = ,在DE边相遇;

    综上可得相遇三次一个循环,
    因为11=3×3+2,即第11次相遇和第二次相遇的地点相同,所以它们第11次相遇在边DE上,点的坐标是 (﹣ ,﹣2).
    故答案为:(﹣ ,﹣2).
    点评: 此题属于应用类问题,主要考查行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用,通过计算发现规律就可以解决问题,难度较大.

    12.(5分)设C1,C2,C3,…为一群圆,其作法如下:C1是半径为a的圆,在C1的圆内作四个相等的圆C2(如图),每个圆C2和圆C1都内切,且相邻的两个圆C2均外切,再在每一个圆C2中,用同样的方法作四个相等的圆C3,依此类推作出C4,C5,C6,…,则
    (1)圆C2的半径长等于   (用a表示);
    (2)圆Ck的半径为 ( ﹣1 )k﹣1 a (k为正整数,用a表示,不必证明)
     

    考点: 相切两圆的性质;勾股定理;正方形的判定与性质。809397 
    专题: 规律型。
    分析: (1)连接AB、BC、CD、AD,AC,设小圆的半径是r,根据圆与圆相切,得到AC=2a﹣2r,根据正方形的性质和勾股定理得到AC=2 r,推出方程2a﹣2r=2 r,求出即可;
    (2)求出r=( ﹣1)a,r3=( ﹣1)r= a,r4= ,得出圆Ck的半径为rk=( ﹣1 )k﹣1 a即可.
    解答: (1)解:连接AB、BC、CD、AD,AC,
    设小圆的半径是r,
    根据圆与圆相切,
    ∴AC=2a﹣2r,
    ∴四边形ABCD是正方形,
    ∴AB=BC,∠B=90°,
    由勾股定理得:AC=2 r,
    ∴2a﹣2r=2 r,
    解得:r=( ﹣1)a,
    故答案为:( ﹣1)a.

    (2)解:由(1)得:r=( ﹣1)a,
    同理圆C3的半径是r3=( ﹣1)r= a,
    C4的半径是r4= ,

    圆Ck的半径为rk=( ﹣1 )k﹣1 a,
    故答案为:rk=( ﹣1 )k﹣1 a.
     
    点评: 本题主要考查对正方形的性质和判定,勾股定理,相切两圆的性质等知识点的理解和掌握,能根据计算结果得出规律是解此题的关键.

    三、解答题(本题有4个小题,共60分)解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.
    13.(12分)如图,四边形ABCD内接于圆O,且AD是圆O的直径,DC与AB的延长线相交于E点,OC∥AB.
    (1)求证:AD=AE;
    (2)若OC=AB=4,求△BCE的面积.
     

    考点: 圆周角定理;等边三角形的判定与性质;平行四边形的判定与性质。809397 
    分析: (1)根据O为AD中点,OC∥AE,得到2OC=AE,再根据AD是圆O的直径,得到2OC=AD,从而得到AD=AE;
    (2)根据平行四边形的性质得到BC∥AD,再根据C为中点,得到AB=BE=4,从而求得BC=BE=4,然后连接BD,得到∠DBE=90°,进而得到BE=BC=CE=4,然后求面积即可.
    解答: (本小题满分12分)
    解:(1)∵O为AD中点,OC∥AE,
    ∴2OC=AE,
    又∵AD是圆O的直径,
    ∴2OC=AD,
    ∴AD=AE.

    (2)由条件得ABCO是平行四边形,
    ∴BC∥AD,
    又C为中点,∴AB=BE=4,
    ∵AD=AE,
    ∴BC=BE=4,
    连接BD,∵点B在圆O上,
    ∴∠DBE=90°,
    ∴CE=BC=4,
    即BE=BC=CE=4,
    ∴所求面积为4 .
     
    点评: 本题考查了圆周角定理及平行四边形的性质及判定,解题的关键正确的应用圆周角定理.

    14.(14分)已知抛物线y=x2+2px+2p﹣2的顶点为M,
    (1)求证抛物线与x轴必有两个不同交点;
    (2)设抛物线与x轴的交点分别为A,B,求实数p的值使△ABM面积达到最小.

    考点: 抛物线与x轴的交点。809397 
    专题: 探究型。
    分析: (1)先判断出△的符号即可得出结论;
    (2)设A(x1,0),B(x2,0),利用两点间的距离公式即可得出|AB|的表达式,设顶点M(a,b),再把原式化为顶点式的形式,即可得到b=﹣(p﹣1)2﹣1,根据二次函数的最值及三角形的面积公式即可解答.
    解答: 解:(1)∵△=4p2﹣8p+8=4(p﹣1)2+4>0,
    ∴抛物线与x轴必有两个不同交点.

    (2)设A(x1,0),B(x2,0),
    则|AB|2=|x2﹣x1|2=[(x1+x2)2﹣4x1x2]2=[4p2﹣8p+8]2=[4(p﹣1)2+4]2,
    ∴|AB|=2 .
    又设顶点M(a,b),由y=(x﹣p)2﹣(p﹣1)2﹣1.
    得b=﹣(p﹣1)2﹣1.
    当p=1时,|b|及|AB|均取最小,此时S△ABM= |AB||b|取最小值1.
    点评: 本题考查的是抛物线与x轴的交点问题,涉及到的知识点为:根的判别式、两点间的距离公式、二次函数的顶点式及三角形的面积,熟知以上知识是解答此题的关键.

    15.(16分)某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表:
     胜一场 平一场 负一场
    积分 3 1 0
    奖励(元/每人) 1500 700 0
    (1)试判断A队胜、平、负各几场?
    (2)若每一场每名参赛队员均得出场费500元,设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W(元),试求W的最大值.

    考点: 一次函数的应用;三元一次方程组的应用。809397 
    分析: (1)首先假设A队胜x场,平y场,负z场,得出x+y+z=12,3x+y=19,即可得出y,z与x的关系,再利用x≥0,y≥0,z≥0,得出即可;
    (2)根据图表奖金与出场费得出W=(1500+500)x+(700+500)y+500z,进而得出即可.
    解答: 解:(1)设A队胜x场,平y场,负z场,
    得 ,
    可得: 
    依题意,知x≥0,y≥0,z≥0,且x、y、z均为整数,
    ∴ 
    解得: ≤x≤ ,
    ∴x可取4、5、6               
    ∴A队胜、平、负的场数有三种情况:
    当x=4时,y=7,z=1;
    当x=5时,y=4,z=3;
    当x=6时,y=1,z=5.

    (2)∵W=(1500+500)x+(700+500)y+500z=﹣600x+19300
    当x=4时,W最大,W最大值=﹣600×4+19300=16900(元)
    答:W的最大值为16900元.
    点评: 此题主要考查了一次函数的应用以及不等式组的应用等知识,利用已知得出x+y+z=12,3x+y=19,进而得出y,z与x的关系是解题关键.

    16.(18分)已知:矩形ABCD(字母顺序如图)的边长AB=3,AD=2,将此矩形放在平面直角坐标系xOy中,使AB在x轴正半轴上,而矩形的其它两个顶点在第一象限,且直线y= x﹣1经过这两个顶点中的一个.
    (1)求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标;
    (2)以AB为直径作⊙M,经过A、B两点的抛物线,y=ax2+bx+c的顶点是P点.
    ①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部,求a的取值范围;
    ②过点C作⊙M的切线交AD于F点,当PF∥AB时,试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y= x﹣1的上方?还是下方?还是正好落在此直线上?并说明理由.
     

    考点: 二次函数综合题。809397 
    分析: (1)首先建立平面直有坐标系,由矩形ABCD中,AB=3,AD=2,设A(m0)(m>0),则有B(m+30);C(m+32),D(m,2);然后若C点过y= x﹣1与C点不过y= x﹣1分析,即可求得矩形的顶点A、B、C、D的坐标;
    (2)⊙M以AB为直径,即可求得M点的坐标,又由y=ax2+bx+c过A(2,0)和B(5,0)两点,利用待定系数法即可求得二次函数的图象,然后顶点同时在⊙M内和在矩形ABCD内部,即可求得a的取值范围;
    ②首先设切线CF与⊙M相切于Q,交AD于F,设AF=n,n>0;由AD、BC、CF均为⊙M切线,求得CF与DF的长;在Rt△DCF中,由勾股定理求得n的值,可得F的坐标,然后由当PF∥AB时,求得抛物线的解析式与抛物线与y轴的交点Q的坐标,则可得Q在直线y= x﹣1下方.
    解答: 解:(1)如图,建立平面直有坐标系,
    ∵矩形ABCD中,AB=3,AD=2,
    设A(m0)(m>0),则有B(m+30);C(m+32),D(m,2);
    若C点过y= x﹣1;则2= (m+3)﹣1,
    m=﹣1与m>0不合;
    ∴C点不过y= x﹣1;
    若点D过y= x﹣1,则2= m﹣1,m=2,
    ∴A(2,0),B(5,0),C(5,2),D(2,2);

    (2)①∵⊙M以AB为直径,
    ∴M(3,50),
    由于y=ax2+bx+c过A(2,0)和B(5,0)两点,
    ∴ ,
    ∴ ,
    ∴y=ax2﹣7ax+10a
    (也可得:y=a(x﹣2)(x﹣5)=a(x2﹣7x+10)=ax2﹣7ax+10a)
    ∴y=a(x﹣ )2﹣ a;
    ∴抛物线顶点P( ,﹣ a)
    ∵顶点同时在⊙M内和在矩形ABCD内部,
    ∴ <﹣ a<2,
    ∴﹣ <a<﹣ .
    ②设切线CF与⊙M相切于Q,交AD于F,设AF=n,n>0;
    ∵AD、BC、CF均为⊙M切线,
    ∴CF=n+2,DF=2﹣n;在Rt△DCF中,
    ∵DF2+DC2=CF2;
    ∴32+(2﹣n)2=(n+2)2,
    ∴n= ,
    ∴F(2, )
    ∴当PF∥AB时,P点纵坐标为 ;
    ∴﹣ a= ,
    ∴a=﹣ ;
    ∴抛物线的解析式为:y=﹣ x2+ x﹣5,
    抛物线与y轴的交点为Q(0,﹣5),
    又直线y= x﹣1与y轴交点(0,﹣1);
    ∴Q在直线y= x﹣1下方.
     
    点评: 此题考查了待定系数法求二次函数的解析式,矩形的性质,勾股定理的应用以及点与函数的关系等知识.此题综合性很强,难度较大,解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用.


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