用二分法求方程的近似解说课设计

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《用二分法求方程的近似解》说课设计

一、背景分析

1、学习任务分析

通过本章学习，使学生学会用二分法求方程近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系。《函数应用》独立成章是本套教材的一个独特做法，因此数学应用思想的培养也是本节的重点。因此我将本节课的教学重点确立为：

教学重点：能够借助计算器用二分法求方程的近似解。

2、学生情况分析

在学习本节课前学生已经学习了一元一次方程、一元二次方程及其函数的图像性质。但是对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难。因此我将本节课的教学难点确立为：

教学难点：1方程近似解所在初始区间的确定。

2利用二分法求方程的近似解，算到何时结束？

二、教学目标设计

根据课标要求，并结合学生具体情况，制定本节课的教学目标为：

1.根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

2.借助计算器用二分法求方程的近似解，让学生能够初步了解逼近思想，体会数学逼近过程，感受精度与近似的相对统一。

3.通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程。

三、课堂结构设计

在实施新课程改革实验工作中，我们应当倡导自主学习、合作学习、探究学习，以便学生全面发展自身素质，形成终身学习的能力；本课学习过程中，教师也要注意引导学生完成知识的自我建构。教师创设情境，学生独立或者分组进行讨论，捕捉其中有用信息，然后联系本课学习内容进行归纳总结，完成对新知识的内化过程. 所以我设计了以下的教学程序：

设计活动—激趣导入→回顾分析——引出二分法→再设任务——深入探究→任务延伸——抽象概括二分法解题步骤→即时训练——巩固新知→小结与布置作

四、教学媒体设计

（1）多媒体辅助教学。

（2）借助投影展示学生自主探究的成果。使学生再实践中感受数学探索的乐趣。

(3)设计科学合理的板书

3.1.2用二分法求方程的近似解

1.二分法的定义

2.用二分法求函数的零点近似值的步骤

3.用二分法求方程的近似解

五、教学过程设计

本节课我设计了六个教学环节，具体如下：

（一）创设情境，引入新课

为了引起学生的求知欲我设计了如下三个问题：

问题1 你会求哪些类型方程的解？

问题2 一元三次方程是否存在求根公式？

问题3 如何求高次及超越方程等的近似解？

设计意图：介绍中外历史上的方程求解问题，从高次代数方程解的探索历程引导学生认识引入二分法的意义，从而引入课题．

（二）实例分析，组织探究

问题2：如何求方程的近似解？

由学生自己给出一个方程，并讨论如何求解方程的近似解，教师引导总结。

x³-2x²+7=0

为了帮助学生思考，我设计了一下几个问题

问题3：如何确定方程近似解所在初始区间？

利用零点存在性定理，可以试值也可以画出图像观察。

问题4：如何有效缩小根所在的区间？

学生：可以通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围，

问题5：何时停止二分区间？|a-b|<ε

要解决第一个问题，可以让学生回顾上节课所学过的两个知识点：

（1）方程的根与函数的零点，方程f（x）=0有实数根—函数y=f（x）的图像与x轴有交点—函数y=f（x）有零点。（2）零点存在性定理：如果函数y=f（x）在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f（x）在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)使得f（c）=0,这个c也就是方程f(a)·f(b)=0的根。

为了解决第二个问题，可以让学生类比生活中实例，如猜测商品价格，CCTV2“幸运52”有奖竞猜等，引导学生通过“取中点”的方法逐步缩小零点范围。也可以取三等分或四等分点（但是取中点的方法更为简便。引导学生分析理解求区间中点的方法）。

（三）师生互动，归纳总结用二分法求函数的零点近似值的步骤。

引导学生把上述方法推广到一般的函数，经历归纳方法的一般性过程之后得出二分法以及用二分法求函数零点近似解的步骤。

二分法：对于在区间[a,b]上连续不断且满足f(a)·f(b)<0的函数y=f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似解的方法叫做二分法。

注意引导学生分化二分法的定义：注意二分法的适用范围，即函数y=f（x）在区间[a,b]上连续不断。因此在这里设计了一道练习。

练习1:下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求其零点的是（）

设计意图：使学生明确并非所以函数零点都可以用二分法求解。要注意其适用范围。

步骤：

1.确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε；

2.求区间(a,b)的中点c；

3.计算f(c)；

（1）若f(c)=0，则c就是函数的零点；

（2）若f(a)· f(c)<0，则令b= c（此时零点∈(a, c) );

（3）若f(c)· f(b)<0，则令a= c（此时零点∈( c, b) ).

4.判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4．

在总结用二分法求函数零点的步骤时，学生可能对步骤3与步骤4的理解有困难，在步骤3的（2）与（3）中，由于学生还没有算法的基本思想，对为什么要令b=c或令a=c，是不易明白的，这只能让他们在具体操作中去体会。在步骤4中，“为什么由|a-b|<ε，便可判断零点的近似值为a（或b）”也是学生不易理解的。教学时可以结合直观作如下说明：

设函数的零点为，则 a<x₀<b。作出数轴，在数轴上标出a，b，x₀对应的点

即a或b作为函数的零点x₀的近似值都可以达到给定的精确度ε

（四）应用所得方法解决实际问题“求出函数的零点”

1列举生活中采用二分法思想解决问题的例子

如：翻字典查英语单词(类似二分法)；输电线路的故障检测（如：一条电缆上有15个接点，现某一接点发生故障，如何可以尽快找到故障接点？

设计意图：通过列举实例，让学生进一步领悟二分法的思想，并感受到数学与生活的密切联系

例2用二分法求方程lnx+2x-6=0的近似解（精确度为0.1）

让学生带着下面两个问题去思考、讨论

（1）如何确定函数零点所在区间？f(a)·f(b)<0

（2）何时停止二分区间？|a-b|<ε（当区间长度小于所给的精确度）

画出函数f(x)= lnx+2x-6

设计意图：让学生独立完成，掌握运用二分法求解方程近似解的整个过程。感受二分法的数学思维。