两角差的余弦公式微型课设计

两角差的余弦公式微型课备课稿
各位评委、各位老师：
大家上午好。
今天我们上课的内容是《两角差的余弦公式》。
首先，我们看两个问题：
（1） cos( π —α ) = ?
（2） cos( 2π — α) = ?
大家根据诱导公式很快得出了答案，大家接着思考一个问题，当特殊角π和2π被一般角取代，
（3） cos( α－β ) = ?
大家猜想了多种可能，其中有同学猜想cos(α－β) = cosα－cosβ 那么这些结论是否成立？
我们一起来用计算器验证。
在这里我们做了与单位圆相交的两个角α，β，现在我们来一起模拟计算下大家猜想的几组结论 。首先任意取一组α，β角，模拟计算出 cos(α－β ); cosα－cosβ; sin α- sinβ; co sα－sin β;由结果推翻假设（反证法）， 那么c o s ( α－β )到底等于什么呢？ 现在我们来借助计算机的强大计算功能 ，由c o s ( α－β )的结果模拟可能的答案。
计算机模拟结论
cos(α–β)=cosαcos β+ sinαsinβ（黑板板书）。
变换不同的α，β角度，结论保持不变。 同学们观察分析该结论的构成，右边与向量夹角的坐标表示一致.
联想向量数量积（黑板板书），用向量法证明:
（1）先假设两向量夹角为θ，α–β在[0，π]，α–β=θ此时结论成立，（2）α–β在[π，2π]时两向量夹角θ=2π-（α–β）
此时 cos[2π-（α–β）]=cos（α–β）
（3）α–β在全体实数范围都可以由诱导公式转换到[0，2π] 综合三种情况，cos(α–β)=cosαcos β+ sinαsinβ。得证
经过大家的猜想，计算，证明，我们得出两角差的余弦公式，有些同学开始产生疑问，我们最开始的两个诱导公式是否出现了错误，都是两角差的余弦，结论似乎不一致，现在我们一起来探讨，揭开谜底。
用两角差的余弦公式证明问题（1）（2）。
带入具体角度，用两角差余弦公式求cos15°= cos(45°— 30°)，同学们试着将15°分成（60°-45°）。（分成17°-2°是否可行）
练习：
证明: cos (α ＋β)= cos α • cos β－sin α • sin β
思考 : 能否参考两角差的余弦公式进行推导?
我们的新课改提倡“减负”，从数学的角度，减负就是---“加正”，
所以 α ＋β = α - (- β ）
由此cos (α ＋β)
= cos [α － (- β ）]
=cosα• cos( -β) +sin α •sin(-β)
= cosα •cosβ－sin α •sin β
对比:
两角和与差的余弦公式:
cos (α –β)= cosα cosβ + sinα sinβ
cos (α ＋β)= cosα cosβ － sinα sinβ
余 余 异号 正 正
化简求值：
（1） cos105 °cos15 °＋ sin105 °sin15 ° =cos90 °=0
（2）cos(θ+20°)cos(θ－40°)＋sin(θ+20°)sin(θ－40°) = cos60 =1/2
（3）cos35 °cos10 ° － sin35 °sin10 °=cos45 °
回顾反思：
提出问题
由两个熟悉的诱导公式入手，从特殊到一般，提出问题。
探究问题
假设猜想——反证否定——计算机模拟猜想——证明——肯定结论——灵活应用——公式对照记忆。
下节课需要解决的内容，通过已经证明的两角和余弦的思路，思考两角和差的正弦。
作业布置：
课本131页 第一题 和 第五题。

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