垂径定理说课设计

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《垂径定理》说课设计
一、教材分析：
（一）教材的地位与作用
本节课圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段等、角等、弧等、垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于举足轻重的位置。
另外，本节课通过“实验--观察--猜想--合作交流--证明”的途径，进一步培养学生的动手能力，观察能力，分析、联想能力、与人合作交流的能力，同时利用圆的轴对称性，可以对学生进行数学美的教育。
因此，掌握垂径定理对学生更好地认识现实世界，建立空间观念、培养推理论证能力具有十分重要的作用。
（二）教学目标
根据《数学课程标准》对这部分知识的要求及本课的特点，结合学生的实情，本节课的教学目标确定为：
（1）知识与技能目标
使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。培养学生观察能力、分析能力及联想能力。
（2）过程与方法目标
在实验过程中，培养学生观察、联想、猜测、推理、探索发现新知识的能力和创新思维、创新想象的能力。通过分组训练、深化新知，共同感受收获的喜悦。
（3）情感与态度目标
在解决问题过程中，培养学生敢于面对挑战和善于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，勇于探索，从中获得成功的经验，充分享受数学之美，从而体验学习数学的乐趣。
知识与技能目标固然重要，对于本节课：过程与方法和情感与态度更重要，因为这部分是几何教学的重点，是由实验几何向论证几何的过渡，过程与方法可以帮助学生学会认识事物、分析问题的方法；有良好的情感态度能培养好的学习兴趣，养成好的学习习惯。
（三）教学重点和难点
教学重点：垂径定理及其应用。
（由于垂径定理的题设与结论比较复杂，很容易混淆遗漏，所以，对垂径定理的题设与结论区分是难点之一，同时，对定理的证明方法“叠合法”学生不常用到，是本节的又一难点。）
教学难点：对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明方法。
突出重点、突破难点的关键：创设具有启发性的问题情境，通过学生动手操作，多媒体生动直观地演示，让学生经历“提出问题——探究讨论——归纳发现”的过程，在这个过程中，要给学生在充足的活动时间，使学生在积极思维的状态下参与探究性学习。
而理解垂径定理的关键是圆的轴对称性。
二、教材处理
关于教材的处理：
(1)对于圆的轴对称性及垂径定理的发现、证明，采用师生共同演示的方法。
(2)探究例1后引导学生发现常见辅助线“半径半弦弦心距”，得直角三角形中三边的关系式 .注意前后知识的链接.
三、教学方法的选择与应用
本节课我采用实验操作，直观演示，合作交流等方法指导学生动眼观察、动手操作、动脑思考、动口表述，让学生从实践中获取知识，并通过讨论来深化对知识的理解。
同时采用多媒体辅助教学和实物演示，直观生动地反映图形特点。
四、教学模式
为了实现教学目标，优化教学过程，本节课通过“创设情境——自主探索——合作交流——应用拓展——反思归纳”的教学模式，力求着眼于学生探究能力和多向思维的培养。
五、教学过程
本节课我设计了七个环节组织教学：
1）创设情景，导入新课
展示我国隋朝建造的赵州石拱桥，提出问题，你能求出桥拱所在圆的半径吗？以此情境，导入圆的学习。
通过课本自学，让学生了解圆中的弧，弦等概念。
并提出疑问：那么我们将要学习的圆到底有什么样的性质呢？
设计意图：通过我们的古老文明激发学生解决问题的欲望，引起学生的联想，为学生探究新知识埋下铺垫。
2）动手操作，探究新知
实践探究一
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
在教学过程中，注重对学生自主探索与合作交流能力的培养，在引入新课的同时，运用教具与学具（学生自制的圆形纸片）演示，让每个学生都动手实验、观察，通过实验，引导学生得出结论：
(1)圆是轴对称图形；
(2)经过圆心的每一条直线（注：不能说直径）都是它的对称轴；
(3)圆的对称轴有无数条。
实践探究二
请同学们在自己作的圆中作图：
（1）任意作一条弦 AB；(2)过圆心作AB的垂线得直径CD且交AB于E。
引导学生分析直径CD与弦AB的垂直关系，说明CD是垂于弦的直径，并设问：它除了上述性质外，是否还有其他性质呢？这样就很自然地导出本节课的课题，此时板书课题垂径定理这样通过全体学生参与实验，逐步导出新课。
设计意图：上述一系列活动的目的是让学生经历“实验（问题）——探究——归纳”的探索过程，在这个过程中，让学生获得直接参与的机会，在参与中，激发学习兴趣；在实验中，积累对数学的感知；在思考中，寻找解决问题的途径；在探究中，形成对数学的理解；在交流中，完善自己的想法。整个过程，体现学生的自主探究，合作学习。从而，培养学生善于观察，勇于猜想，敢于发现的精神。
3）引入新课---揭示课题：
首先让学生实验、观察并得出猜想
①EA=EB；② 弧AC=BC；③弧AD=BD．
你是如何得到这个结论的？（可能有的学生用的是叠合法，有的学生用的是论证法，此处都予以表扬）
这里要引导学生分析上述猜想的条件和结论，并将文字语言转化为符号语言，要能写出
已知：CD是直径，CD⊥AB
求证：①EA=EB；② 弧AC=BC；③弧AD=BD．
这样做为分清定理的题设和结论作好铺垫，从而达到解决难点的目的。此时板书垂径定理的内容。
垂径定理垂直于弦的直径,平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
<目标训练，及时反馈>
为了强调定理中的条件，出示一组练习：在下列图形中，符合垂径定理的条件吗？让学生抢答，根据实际情况进一步强调“垂”与“径”缺一不可。

设计意图：及时给出练习，便于学生理解概念，有利于新知识的内化。本环节要注重学生在活动中的思考，鼓励学生有条理地表达自己的思考过程，积累数学活动经验。
实践探究三
1.想一想：如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M．

2.同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答：（1）此图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么?（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由。
学生依据探究二的经验来论证探究三，从而得到垂径定理的逆定理
3.拓展垂径定理的逆定理，即“知二推三”
4）运用新知，体验成功
例1：如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。

1. 介绍弦心距的概念：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．
2. 规范解题步骤

3. 总结圆中常用的辅助线思路
<目标训练，及时反馈>
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm, 那么圆心O到弦AB的距离是。
2．半径为2cm的圆中，过半径中点且垂直于这条半径的弦长是。
3.如图，MN所在的直线垂直平分AB，利用这样的工具，最少两次就可以找到圆形工件的圆心，你能说出理论依据吗？

<学有所用>
赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？

设计意图：为了及时巩固，帮助学生对所学定理的加深理解与使用讲完定理及逆定理后，我依据学生的实际情况及他们的心理特点，设计了有梯度的，循序渐进的习题，让学生尝试。
本环节我采用学生自主探索与合作交流的方法，通过学生的探究体验垂径定理性质的应用。
5）知识梳理，自主评价
谈谈本节课的收获（包括知识、方法、感想方面的梳理）
设计意图：本环节我采用学生自己回忆并叙述的方式，让其梳理知识，感受方法。这样做的目的，既是对所学内容的复习巩固，又训练了学生的归纳和表达能力，有利于培养学生良好的数学思维习惯，形成知识体系。
6）学有所用，综合提升
一座桥，桥拱是圆弧形（水面以上部分），测量时只测到桥下水面宽AB为16m（如图），桥拱最高处离水面4m
（1）求桥拱半径；
（2）若大雨过后，桥下面河面宽度为12m，问水面涨高了多少？．

2. 如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D，求证：AC＝BD．

设计意图：本题在赵州桥的基础上进行了综合，使学生进一步理解垂径定理，运用垂径定理。
7）作业
作业设计本着有益有趣的原则，给学生以充分的发展空间，并巩固本节所学内容。
设计方案：为了适应各层次学生学习的需要，设计了分层作业，
必作题是课本练习题
选作题是课后试一试
另外，又设计了应用练习，如何确定残缺的圆形零件的圆心？
让学生带着数学问题走出课堂，从而把学生的思维引向一个更加广阔的空间，让学生在课外运用所学的知识进行实践、探究。