解斜三角形第一课时教案

一、教学目的

（一）知识与技能

1.掌握用两边及夹角正弦表示的三角形面积公式；

2.理解正弦定理、余弦定理及其推导过程。

（二）过程与方法

1.从直角三角形迁移到斜三角形，运用从特殊到一般的数学思想方法猜想、论证正弦定理和余弦定理；

2.培养学生从旧知识中感悟、思考出新知识的能力，学会温故知新。

（三）情感、态度与价值观

通过大胆猜想，激发学生的创新意识和探索精神；通过温故知新的教学方式，教学生事事学会反思；通过相互讨论，养成团结互助的良好品质。

二、教学重点和难点

（一）教学重点

正弦定理、余弦定理的推导和应用。

（二）教学难点

1.余弦定理及其变形式的推导过程；

2.解斜三角形时何时选取正弦定理，何时选取余弦定理。

三、教学设计说明

初中时，学生们学习了解直角三角形的相关知识。解斜三角形的思路与之类似，通过旧知识引入新课是很自然的一种思路。又由于本节的主要内容是要去解三角形，所以新课讲授时，以如何“知三求三，解三角形”展开，紧扣基本主题。鉴于复旦附中学生基础较好，课堂内容的深度和容量要符合学生特点，在夯实基础的前提下做了比较系统化的总结，让学生能够宏观地、整体地去把握这节课内容。在例题的选择方面，坚持覆盖全面，难度适宜的原则。在行课过程中，还设计了对个别学生的提问和与整个班级的问答环节，以调动学生的积极性，增加参与度。

四、教学过程

（一）复习引入

   *解直角三角形

    六个元素：     “知三求三” （知的不能是三个角）     

三个角   ∠A  ∠B ∠C

3条边     a    b    c

（1）已知    a    b  ∠C（直角）

 

（2）已知    a  ∠A ∠C（直角）

 

（3）求面积

 

（二）归纳猜想

在给定的三角形是直角三角形的时候，我们可以完成“知三求三”。那么如果是斜三角形呢？还能不能“知三求三”呢？如果可以的话，式子的形式和直角时有什么关系呢？

【说明】与同学们互动，群策群力，想出解斜三角形的思路！

 

（3）论证探究

     *解斜三角形

 

  “ 知三求三”（知的不能是三个角）

（1）  问：已知    a    b  ∠C

【思考】没有直角，那我们把要求的边放到直角三角形的里面

        过B作为AC边的垂线，垂足为D                 （ 钝角、锐角考虑周全）

        得到两个直角三角形，三角形BCD和三角BAD

 

             =

             =

             =

             =

        所以，C得以求出

 

 

余弦定理：三角形的一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦值的乘积的两倍。

 

【提问】这个式子和勾股定理有什么关系？

勾股定理是∠C=90°时余弦定理的特殊情况。

 

    【思考】这里，我们给了两边和它们的夹角，可以求第三边的长，那么，如果给的是三边的长，可不可以求角呢？

（2）  问：已知 a b c    

 

【说明】把上面（1）中的式子变形，就得到了角的求法。

（3）  求面积

 

（4） 上面的面积公式每个表达式都含3个角或边，考虑同除，进行简化

              

分子分母倒过来写（为什么到过来写，下节课介绍）

               ==.

三角形中，各边与它所对角的正弦值的比相等，这就是正弦定理。

运用它可以解已知所有“两角一边”的及部分“两边一角”的三角形。

（4）举例应用

例1 （1） 已知的三边之比为，求最大的内角。

解 设的三边长为a ，b ，c且a ：b ：c=

由三角形中大边对大角可知：∠A为最大的角．由余弦定理

 

所以∠A=120°．

   （2） 中，AB=2，AC=3，∠A=，求BC和三角形面积。

解  由余弦定理可知

BC²=AB²+AC²-2AB×AC·cosA

 

所以BC=7．

    由面积公式有

               S==

【选题目的】

1.介绍完公式，选择简单的题目，作为公式的简单应用。

2.（1）（2）两个小题分别涉及余弦定理和它的变形式，涵盖了运用余弦定理的两个方面。

3.在实例中引导学生发现，“已知三边”，“已知两边夹角”的情况下，应选用余弦定理解三角形。

 

例2 ： 在中，已知，解三角形.

解：.

因为=，

所以

又因为=，所以

 

【选题目的】

    1.选择正弦定理相关题目，和上面例1配合，涵盖本节课主要知识点。

2.引导学生在实例中发现，“已知两角和一边”的解三角形问题，可以利用正弦定理来解决。

 

例3 某林场为及时发现火情，在林场中设立了两个观察点A和B，某日两个观察点的林场人员分别观测到C处出现火情。在A处观测到火情发生在北偏西40°方向，而在B处观测到火情在北偏西60°，已知B在A的正东方向10千米处。现在要确定火场C距A，B多远？（）   

    解： 在三角形中，∠C=180°- ∠A - ∠B=20°

         有正弦定理知：

                       b=

【选题目的】

1.    通过应用问题，培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力。

2.    让学生意识到，在生活中处处存在数学问题，培养学生经常用数学去观察思考生活中的各种问题。

   （五）小结

1.新内容：正弦定理、余弦定理、面积公式

2.典型题目：解斜三角形，包括以下几类：

已知三边的，用余弦定理；

已知两边夹角，用余弦定理；

已知两边一角（非夹角），用正弦定理，注意多解；

已知两角（也就是三角）一边，用正弦定理。

（六）作业

练习5.6（1）1.2.3 练习5.6（2）1.2.3.4.5

【说明】作业中包括用正弦定理、余弦定理求解三角形和面积公式的应用。

 

五、教学反思

1.板书的整体把握有所提高，对黑板的实际“容量”有了清楚认识。

2.互动不少，学生的积极性得以调动，但对生成问题的处理还有欠经验。

3.整堂课还是比较丰富、流畅的，但在部分内容的表达上，还不够清晰准确。

4.第一次上新课，准备过程及实践上课都使人受益匪浅。