函数凹凸性的初步研究评课

《函数凹凸性的初步研究》评课后的再学习
上周四在二中听了三堂都是关于函数的课。李老师《方程的根和函数的零点》一课中工作单的设计给我留下了深刻的印象。四种不同情况，相应都给出三个不同的结论选项，结论具有指向性；零点存在定理以填空的面目呈现，这些都有助于排除学生关于定理的“表述”障碍，学生只需经历“思维”的障碍便可。王瑾老师《函数的图像性质及其应用》一课从熟悉到陌生，从特殊到一般再到更一般的设计，凸显了对学生认知规律的尊重。缪雪松老师《函数凹凸性的初步研究》关于定义的引入循序渐进，从到只需要三个点，从只需要三个点到只需要两个点，从而逐步将定义引出，设计足够精细。
胡仲威老师评课中的几句话，正如我听过他为数不多的几次讲话，总能引发一些深深的思考。如，取材的动机是什么？培养能力？应付高考？对“任意实数”始终很放松；是重在解决问题，还是重在研究方法？只要是学生自己获得的，都是创造性的……

那天，我在评缪老师《函数凹凸性的初步研究》一课时说：从到只需要三个点，从只需要三个点到只需要两个点，既然定义具有“最简性”，那么是否能用一个点定义？
因当时脑海中闪现了函数凹凸性的定比分点形式的一个定义，误以为在区间上的函数凹凸性只需用一个任意点——来定义。
回家路上想到，如果那样定义，轻而易举地就可以举出一个反例，那么究竟我朦胧记忆中的定义的真实面目如何呢？“二阶导数的正负”与“定义”之间有什么联系呢？

一、关于“凹凸性定义”的再学习
定义1：（参考维基百科：http://zh.wikipedia.org/wiki/凸函数）
设函数是定义在区间上的函数，对任意实数、，，（1）、若对任意，都有，则称为区间上的（严格）凹函数；
（2）、若对任意，都有，则称为区间上的（严格）凸函数。

由定义1可以直接得到凹凸函数的几何特征：
若函数是严格凹函数，则图像上任意两点之间的部分位于这两点确定弦的下方；
若函数是严格凸函数，则图像上任意两点之间的部分位于这两点确定弦的上方。

定义2：（参考《数学分析》复旦大学数学系编，高等教育出版社1978年5月第1版）
设函数是定义在区间上的函数，对任意实数、，，
（1）若恒有，则称为区间上的严格凹函数；
（2）若恒有，则称为区间上的严格凸函数。
由定义2也可以得到凹凸函数的几何特征，只是稍稍麻烦一些：
以凸函数为例（见图1）：
任意实数、，有，即有；
对于，有，
则有，如此继续下去，可说明图像在弦上方。
由上式中，联想到更一般情形，即定义1。这里就是定义1中的。














图1
由定义2还可以得到凹凸函数的增量特征：

图2
当自变量逐次增加一个单位增量Δ时，
若函数是严格凹函数，则函数相应增量Δ、Δ、Δ……越来越大；
若函数是严格凸函数，则函数相应增量Δ、Δ、Δ……越来越小。
以函数是严格凸函数为例：
任意实数、，有，即有（见图1），于是就有，即可说明图2（左图）中的增量Δ、Δ、Δ……越来越小。

一个定理：（参考《数学分析》复旦大学数学系编，高等教育出版社1978年5月第1版）
函数在区间上二阶可导，那么
（1）若区间上，则函数在区间上是严格凹函数；
（2）若区间上，则函数在区间上是严格凸函数。
注：此定理不可逆，反例：为严格下凹，但

另一个结论：（参考维基百科：http://zh.wikipedia.org/wiki/凸函数）
函数在区间上二阶可导，那么
（1）区间上的充要条件是函数在区间上是凹函数（注：不要求严格凹）；
（2）区间上的充要条件是函数在区间上是凸函数（注：不要求严格凸）。

二、关于“最简性原则”的再思考
脱口而出的“最简性原则”是为自己当时的错误论点进行的辩护，还是确有“定义的最简性”一说？是公理的最简性，还是定义的最简性？我有些模糊。最简性原则——这五个字同样值得我为此再作一番学习梳理。
1、公理化思想从公理系统的特点来看应具备三个性质：相容性（consistent），也就是说公理系统应该是无矛盾的；独立性（independent），即系统中的每一个公理都应该是互相独立的，不能由其他公理推出，公理系统满足最简；完备性（complete），即由有限的前提出发可以演绎出该系统的全部结论。可见，“最简性”是公理系统的独立性中的一个具体特征。
2、定义、定理描述中有最简性原则体现，如：有三个角是直角的四边形是矩形。只需“三个”，而不必“四个”。又如，三角形全等与相似的判定定理，不必将“三个角和三条边”，即六个元素全用到。
由此看来，“最简性原则”是一个数学文化中的普遍原则。

三、“最简性原则”与“凹凸性定义”
显然，定义2并不是基于“最简性原则”对定义1的提炼。
定义1具有普适性，可联想向量的定比分点。定义2是定义1中的某一种特殊情形的简化，刚好联想到定比分点是中点的情形，可能是考虑到学生的可接受性，才以这样的面目呈现。


我用“人非圣贤，孰能无过”来为自己开脱，实在是因为从上周四下午四点开始到现在我还在为那天评课时犯下的错而“耿耿于怀”。
数学——就像一位高贵的女王，刚刚带领着我的学生轻触了她的脚趾，感受到了一些温度，忽然又着实领教了她那“冷峻”的一面。
想起了11月22日评课老师提到的两个字——慎重！
需要谨言慎行，不过事已至此，也需要坚定地对自己的内心说——教一辈子数学，一辈子学数学，一辈子学教数学。


 

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