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说课稿
课题：辗转相除法和更相减损术
尊敬的各位老师，你们好！
今天我说课的内容是人教版必修三第一章《算法初步》第三节《算法案例》第一部分《辗转相除法和更相减损术》。下面我将从教材分析、教法分析、学法指导、教学过程、板书设计和教学反思六个方面进行说明。
（一） 教材分析
1． 学情分析：
本节课的教授对象是高一学生，他们已经具备一定的数学基础和编程能力，已经掌握了用短除法求最大公约数的方法，能够熟练使用TI图形计算器。这种计算器具有数据处理功能、函数功能、图形功能、简单编程功能和进行一些数理实验功能，具有很好的交互性。3年前，我校参与人教社高中数学与信息技术整合的实验与研究课题，获得了TI“优秀实验学校”和"“优秀实验员”的称号。
2． 教材的地位和作用
本节课是人教版必修三第一章《算法初步》第三节《算法案例》的第一课时，作为案例课，在整章中既是算法的总结，又是一个提升。教材突出了数学的人文价值，又为学生提供了探索算法的平台。
3． 教学目标
基于新课标的教学理念，我的教学目标是：
（1） 知识与技能目标：
○1理解两种方法蕴含的数学原理，能根据这些原理进行算法分析；
○2基本能根据已学知识设计完整的程序框图和程序语句。
（2） 过程与方法目标：
比较两种方法在算法上的区别，体会数学算法与TI计算器相结合的学习过程，初步掌握把数学算法转化成程序语句的一般步骤。
（3） 情感与德育目标：
○1体会中国古代数学对世界数学发展的贡献；
○2培养学生探究的意识；
○3培养理性的精神和动手实践的能力。
4． 教学重点和难点：
（1） 重点：探索辗转相除法和更相减损术求最大公约数的方法。
（2） 难点：把两种方法转换成程序框图和程序语句。
（二） 教法分析
1． 教材处理：依照学生对新知接受和理解的认知规律，特将教材内容的教学顺序变更。
2． 教学方法：根据新课标的教学理念，我将采用探究式教学，他能更好地体现学生的主体性，体现课堂的开放性和公平性。
3． 教学手段：利用多媒体辅助教学，主要工具是TI图形计算器。可以降低学生的学习难度、增加课堂容量。
（三） 学法指导
在教学过程中，遵循“课堂教学要以学生的发展为本”，注意启发学生自主性学习，引导学生实践数学思维的过程，自得知识，自觅规律，自悟原理，主动发展思维。
（四） 教学过程
在整个教学流程设计上我力求充分体现“以学生发展为本”的教育理念，将教学思路拟订为“温故知新——自主探究——巩固内化——课堂小结”，努力构建探索型的课堂教学模式。
一． 温故知新
小学时，学生已经学过用短除法求最大公约数。我给出四组数让他们求最大公约数。学生通过练习发现四组数的最大公约数都是7，而且发现数越大最大公约数越难求。虽然是不同的数，为什么它们的最大公约数是相同的呢？大家观察一下四组数之间有什么关系？ 学生能够通过观察，找规律，再现公约数的性质，即：如果两个数都能被同一个数整除，那么它们的和或差也能被这个自然数整除。我设计的这个引例不但让学生复习了公约数的有关知识，为引入新课埋下伏笔。
二． 自主探究
1． 更相减损术
（1）探求算法步骤
接着给出例1：求8251和6105的最大公约数。
学生自然想利用短除法，但是发现比较困难，怎样解决呢？引起学生的认知冲突，激发学生探索的热情。刚才学生通过引例已经回顾了公约数的重要性质，他们已经有了一个思维倾向：求它们的和或差跟这两个数的最大公约数。但是面临这两种选择：是和好还是差好？和会将解题过程越变越复杂，而差则会简化。这正体现了数学的重要化归思想：大数化小数。
按照这样的解题思路，学生利用TI图形计算器的计算功能很快得到如下过程:
8251-6105=2146
6105-2146=3959
3959-2146=1813
2146-1813=333
1813-333=1480
1480-333=1147
1147-333=814
814-333=481
481-333=148
333-148=185
185-148=37
148-37=111
111-37=74
74-37=37 所以37是它们的最大公约数。
为了设计程序框图，引导学生观察上下式关系，
启发学生总结：当求大数的最大公约数时，以较大的数减去减小的数，接着把所得的差与较小的数比较，再以大数减小数，继续这个步骤，直到所得的数相等为止。这个等数就是最大公约数。
（2）设计程序框图
总结出这种算法的步骤后，针对本节课的难点——设计程序框图，组织学生讨论：这种方法的程序框图中主要有哪些基本结构？循环体和终止条件是什么？学生讨论后明确它是反复执行大数减小数，直到减数与差相等停止的循环结构。需要一个比较两数大小的条件结构。经过这样的讨论可以分散难点。
（3）编写程序语句
在学生已经熟悉将程序框图编写成程序语句的前提下，让学生四人为一组合作，将解题过程设计成完整的程序框图，改编成程序语句，然后用TI图形计算器编程验证。TI图形计算器在这里起到了“手持电脑”的作用，在本章学习中，如果没有它参与探索验证，学生对自己编出的程序并不知道正确与否，会变得不自信，对以后的程序学习也产生很多障碍。有了它的验证，学生对编程会变得更加有兴趣。这是学生经过相互讨论、多次修改得到的程序框图和程序语句：
INPUT "m="; m
INPUT "n="; n
IF m < n THEN
t = m
m = n
n = t
END IF
r = m - n
WHILE r <> n
IF n < r THEN
t = n
n = r
r = t
END IF
m = n
n = r
r = m – n
WEND
PRINT "The max common divisor is:"; n
END
（4） 编程验证
这是学生用TI图形计算器编程和验证的过程：（实物投影仪展示程序）
接着我展示这样一段古文：“可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。同学们，你们能用你们的文学知识理解这段话吗？”引导学生发现这段话所说的就是前面探究的求最大公约数的方法。“这段话出自何处呢？原来出自《九章算术》，其实早在公元一世纪的下半叶我们的祖先已经发现了这种方法。古人称它为‘更相减损术’。我们现在仍然沿用这个名字。”通过对数学史的回顾，对学生进行数学文化熏陶，让他们更加为中华民族上下五千年的灿烂文明感到骄傲，增强了民族自豪感。
2．辗转相除法
接着我给出例2：求840与1764的最大公约数。学生自然会用更相减损术求解。
1764-840=924
924-840=84
840-84=756
756-84=672
672-84=588
588-84=504
504-84=420
420-84=336
336-84=252
252-84=168
168-84=84 所以，84是所求最大公约数。
得出结果84是它们的最大公约数这种方法需要11步才能完成，能简化吗？求简意识是重要的数学意识。通过这个问题引导学生简化过程，优化解题，学生会发现有些步骤里减数是相同的，得到差的方法可以优化成除法。（展示过程）差84是1764除以840商2的余数。而840除以84商10余数为0。此时，84是它们的最大公约数。这就是辗转相除法的原理。用更相减损术引出辗转相除法，更符合学生的认知规律，学生更易于总结它的算法步骤。这样，第二部分辗转相除法的重点已经突出，难点的处理和更相减损术是类似的。我引导学生总结出算法步骤，设计出程序框图，学生合作编写算法语句，用TI图形计算器验证。学生在前面的学习中掌握了编写程序语句的一般步骤后，辗转相除法的探究过程也能够较为顺利完成。
三．巩固内化
我安排了如下练习：分别用更相减损术和辗转相除法求下列两数的最大公约数，并用TI图形计算器验证结果。
（1）228与1995 （2）5280与12155
通过反馈使学生掌握两种方法。同时让学生体会在两个数相差较大时，用辗转相除法比更相减损术更快。帮助学生建立改进算法，提高计算效率的意识。
四．课堂小结
这一环节引导学生对学习内容进行梳理，将知识系统化、条理化、网络化，对在获取新知中体现出来的数学思想方法策略进行反思，从而加深对知识的理解。在小结中引导学生注意以下几点：
（1）算法具有通用性，可以解决一类问题；
（2）解决同一类问题，可以有不同的算法，但是计算的效率是不同的，应该选择高效的算法；
（3）算法的种类虽多，但三种逻辑结构可以有效地表达各种算法。
（五） 板书设计
这是我的板书设计。
（六） 教学反思
1． 教材原有的顺序为先引入辗转相除法再讲更相减损术，我将教材顺序作了调整，这种调整更加符合学生的认知规律，也更好地体现了化归思想。
2． 在课堂教学设计中，从设置情景到提出问题，到动手操作、交流，直至归纳得到结论，整个过程学生不仅探索了求最大公约数的两种方法——辗转相除法和更相减损术，更重要的是经历了知识的形成过程，掌握了一种分析问题、解决问题的方法，积累了数学活动经验，这将有利于学生更好的理解数学，应用数学。
3． 本节课的设计体现了以教师为主导、学生为主体，以知识为载体、以培养学生的思维能力为重点的生本教育理念。TI图形计算器在整个教学过程中起到了探索验证的作用，使得学生的学习效率和积极性提高。教师以探究任务引导学生自学自悟的方式，提供了学生自主合作探究的舞台，营造了思维驰骋的空间。
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