相互独立事件同时发生的概率说课稿

 相互独立事件同时发生的概率(第一课时)
一、教材分析
1．教材的地位和作用
概率论是研究和揭示随机现象规律性的数学分支.它的理论和方法渗透到现实世界的
各个领域，应用极为广泛.相互独立事件同时发生的概率与前面学习的等可能性事件、互
斥事件有一个发生的概率，是三类典型的概率模型.将复杂问题分解为这三种基本形式，
是处理概率问题的基本方法.因此，本节内容的学习，既是对前面所学知识的深化与拓展，
又是提高学生解决现实问题能力的一种途径，更是加强学生应用意识的良好素材.
2．课时安排和说明
参照课本与教学大纲，10．7 节“相互独立事件同时发生的概率”准备安排三个课时.
第一课时主要通过探索得出相互独立事件的概念及其概率乘法公式，并能应用公式解决问
题.第二课时主要研究
n
次独立重复试验发生
k
次的概率.第三课时为习题课，目的是巩固
和深化本节知识，提高实践应用能力.本次说课内容为第一课时.
3．教学重点和难点
教学重点：相互独立事件的意义和相互独立事件同时发生的概率公式.
为了防止互斥事件对相互独立事件的负迁移作用，避免学生盲目地套用公式，本节课
准备突破的教学难点是：对事件独立性的判定，以及能正确地将复杂的概率问题分解转化
为几类基本的概率模型.
二、学情分析
认知分析：学生已经了解了概率的意义，掌握了等可能性事件以及互斥事件有一个发生
的概率计算方法，这三者形成了学生思维的“最近发展区”.
能力分析：学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，但在数学的应用意识与应用能力方
面尚需进一步培养.
情感分析：多数学生对数学学习有一定的兴趣，能够积极参与研究，但在合作交流意识
方面，发展不够均衡，有待加强.
基于以上分析，在学法上，引导学生采用自主探索与互相协作相结合的学习方式.让
每一个学生都能参与研究，并最终学会学习.
三、教学目标
根据教材分析和学生的认知特点，本节课设置的教学目标为：
知识目标：了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件
的概率.
能力目标：进一步发展学生类比、归纳、猜想等合情推理能力；通过对各种不同的实际
情况的分析、判断、探索，培养学生的应用能力.
情感目标：通过各种有趣的，贴近学生生活的素材，激发学生学习数学的热情和兴趣，
并从中领会对立统一的辨证思想；结合问题的现实意义，培养学生的合作精
神与爱国热情.
四、教学方法
根据建构主义的教学理论和美国著名心理学家、教育家杜威的“思维五步法”，从发
展学生认识问题、探索问题、研究问题的能力角度考虑，本节课准备采用“问题教学法”
的思想进行教学设计.即由教师作为“顾问、参谋、设计者”组织教学，学生在问题解决的
过程中，体验成功与失败，从而逐步建立完善的认知结构.
它由五个基本环节组成： 创设情境，提出问题 —— 合作交流，感知问题 ——
类比联想，探索问题 —— 实践应用，解决问题 —— 总结反思，深化拓展.
五、教学过程
1． 创设情境，提出问题：
（1）创设情境：（动画）画面背景：擂台.横幅：解题大赛 奖品丰厚.
比赛双方：诸葛亮 VS 臭皮匠团队
比赛规则：各位参赛选手必须独立解题.团队中有一人解出即为团队获胜.
人物：诸葛亮，臭皮匠老大，臭皮匠老二，臭皮匠老三.
诸葛亮（手摇羽扇）：依我以往的经验，我解出的把握有 80%.
臭皮匠老二（垂头丧气）：老大，你的把握有 50%，我只有 45%，看来这奖品与咱
是无缘了.
臭皮匠老大：别急，常言道：三个臭皮匠臭死诸葛亮.咱去把老三叫来，我就不信
合咱三人之力，攻不下这个擂台！
问题：假如臭皮匠老三解出的把握只有 40%，那么这三个臭皮匠中有一人解出的把握
真能抵得过诸葛亮吗？
创设趣味性的问题情境，增强学生的有意注意,调动学生学习的主动性和积极性.
根据不同的认知基础和对问题的不同看法，学生们会作出各自不同的判断.
（2）提出问题
此时不急于加以评判，先拿出歪歪的观点：
歪歪：当然啦！
设事件 A：老大解出问题；事件 B：老二解出问题；事件 C：老三解出问题；
事件 D：诸葛亮解出问题.
那么三人中有一人解出的可能性即
P A B C P A P B P C ( ) ( ) ( ) ( )     
=0.5+0.45+0.4=1.35>0.8=
P D( )
所以，合三个臭皮匠之力，把握就大过诸葛亮了.
乖乖：好象挺有道理的哦？
问题：那么，你认为歪歪说得对吗？
在歪歪的说法中有两点是与学生的原有认知矛盾的：1）概率不可能大于 1.2）公式
P A B C ( )    P A( )  P B P C ( ) ( ) 
运用的前提是：互斥事件有一个发生.而此问题中
“团队中有一人解出”，实质是至少有一人解出，事件 A、B、C 可以同时发生，公式应用
有误.从而引发学生提出问题 ．．．．：事件 A、B、C 不互斥，那又是什么关系呢？
（3）启发建构：
提问：在此问题中，对三个臭皮匠各自解决问题有什么限制条件？（必须独立解决）.
追问：如何理解“独立”？
结论：相互独立事件的定义——事件 A（或 B）的发生对事件 B（或 A）发生的概率没有
影响，则称事件 A 与 B 是相互独立事件.
揭示课题：今天这节课，我们就要来研究相互独立事件同时发生的概率.
2．合作交流，感知问题：
研究主题一：相互独立事件
（1）启发引导：结合你所感兴趣的问题，举例说明什么叫做两个事件相互独立.
学习方式：先由四人小组讨论，然后拿出你们认为最典型的问题（可以是正确的，也
可以是一些似是而非的问题）全班交流.
教师在这个过程中，要参与到学生的讨论中去.从中发现学生中存在的问题，及时
加以引导.
这里通过合作交流，广泛举例，让学生充分感知相互独立事件的意义，体验到生活中
存在着大量的相互独立事件，认识到研究的必要性.
（2）判断：下列事件哪些是相互独立的：
① 篮球比赛的“罚球两次”中，
事件 A：第一次罚球，球进了.
事件 B：第二次罚球，球进了.
② 篮球比赛的“一加一罚球”中，
事件 A：第一次罚球，球进了.
事件 B：第二次罚球，球进了.
③ 袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球.
事件 A：从中任取一个球是白球.
事件 B：第二次从中任取一个球是白球.
④ 袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球.
事件 A：从中任取一个球是白球.
事件 B：第二次从中任取一个球是白球.
⑤ 上题中事件
A B 与 ， A B 与 ， A B 与
是否相互独立？
这里①②与③④是两组具有对比性的问题.目的是让学生在生疑、质疑的过程中，自
觉的运用相互独立事件的意义加以判断，加深对问题的理解.
同时通过问题⑤发现相互独立事件的一组性质：若事件A与B相互独立，则事件
A B 与 ，
A B 与 ， A B 与
也相互独立.
3．类比联想，探索问题：
研究主题二：相互独立事件同时发生的概率.
符号表示：相互独立事件 A 与 B 同时发生，记作
A B
（1）公式猜想：互斥事件有一个发生的概率公式为：
P A B P A P B ( ) ( ) ( )    .能否猜想
相互独立事件 A 与 B 同时发生的概率公式？
（2）个例验证：能否结合上面的判断题④，验证一下你的发现？
略解：
2 2 2 2 4
( ) , ( ) , ( )
5 5 5 5 2 5
P A P B P A B

   

 P A B P A P B ( ) ( ) ( ) 
（3）补充说明：公式
P A B P A P B ( ) ( ) ( ) 
是正确的.但通过个例验证的正确性，并不能
说明一般情况也成立.只是由于受所学知识的局限，对公式的证明不作要求.
研究结果一：相互独立事件 A 与 B 同时发生的概率公式：
P A B P A P B ( ) ( ) ( ) 
（4）问题引申：你能依此推广到多少个事件的情形呢？
研究结果二：如果事件
1 2 , , ,
n
A A A
相互独立，那么这些事件同时发生的概率，等于
每个事件发生的概率的积，即
1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )
n n
P A A A P A P A P A        .
通过教师的层层引导，把学生的探索逐步引向最近发展区，启发学生运用类比、归纳、
猜想等思维方法探求所得结果，体验了知识的形成过程和发现的快乐，继而转化为进一步
探索的内趋力.
4． 实践应用，解决问题：
（回顾中国女排圆梦一刻的精彩画面）
解说：中国女排经过不懈的努力，终于夺回了阔别十七年的冠军奖杯，这是女排姑娘的骄
傲，也是全中国人民的骄傲.现在男排世界杯也正在日本举行，虽然形势不太乐观，但是
男排小伙子所表现出来的拼搏精神是有目共睹的.
例题 假如经过多年的努力，男排实力明显提高，到 2008 年北京奥运会时，凭借着天时、
地利、人和的优势，男排夺冠的概率有 0.7；女排继续保持现有水平，夺冠的概率
有 0.9.那么，男女排双双夺冠的概率有多大？
解:设事件 A:女排夺冠,事件 B:男排夺冠
则男女排双双夺冠的概率为
P A B P A P B ( ) ( ) ( ) 0 .9 0 .7 0 .6 3      
答: 男女排双双夺冠的概率为 0.63.
借助热点新闻设计应用问题，可以加强学生的数学应用意识，同时又能激发学生的爱
国热情.并通过例题的示范作用，让学生对公式的应用有了初步的认识.
变式一：只有女排夺冠的概率有多大？
略解: 只有女排夺冠的概率为
P A B P A P B ( ) ( ) ( ) 0 .9 0 .3 0 .2 7      
对这一问题，会有部分学生认为概率就是 0.9.让学生充分发表自己的意见，让他们在
思维冲突的过程中，形成对问题的正确认识：“只有女排夺冠”的本质是相互独立事件女
排夺冠而男排未夺冠同时发生.从而使学生意识到分清事件类型是正确解题的关键.
追问：只有男排夺冠的概率有多大？男女排都不夺冠呢？
这两个问题的提出既是对已有认知的巩固，又可以引导学生发现这四个事件合起来就
是一个必然事件，从而为后面的进一步探究作好铺垫.
变式二：只有一队夺冠的概率有多大？
略解:只有一队夺冠的概率为
P A B A B ( )     P A P B P A P B ( ) ( ) ( ) ( ) 0 .3 4
学生根据生活经验，分析“只有一队夺冠”是指只有女队夺冠或只有男队夺冠并不困
难.教师引导的关键是只有女队夺冠与只有男队夺冠是一对互斥事件.因此，问题的关键是
将所求的事件分解转化为基本的互斥事件与相互独立事件.
变式三：至少有一队夺冠的概率多大?
教师引导学生反思得出问题的两种解法：
解 1：（正向思考）至少有一队夺冠的概率为
P A B A B A B ( )  
   P A P B P A P B P A P B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  0.97 .
解 2：（逆向思考）至少有一队夺冠的的概率为
1 ( ) 1 ( ) ( )    P A B P A P B         1 (1 ( ))(1 ( )) 1 0 .3 0 .1 0 .9 7 P A P B .
从不同角度、多种方法求解，可以拓宽学生的思路.并且通过比较，优胜劣汰，优化
学生的思维方式.
这一环节，由浅入深设置问题链，使学生的思维分层递进，目的是突出本节课的重点；
并且通过正反对比，一题多解，不断制造认知冲突，分散、突破教学难点.
练习：用数学符号语言表示下列关系：1）A、B、C 同时发生：
2）A、B、C 都不发生：
3）A、B、C 中恰有一个发生：
4）A、B、C 中至少有一个发生：
5）A、B、C 中至多一个发生：
这是由变式二、三延伸出一组相关问题，目的是将几类典型模式抽象出来，有利于学
生从“变”的现象中发现“不变”的本质，为问题的深入研究埋下伏笔.
引例的解决（让学生用数学化的语言表述问题）已知诸葛亮解出问题的概率为 0.8,臭皮匠
老大解出问题的概率为 0.5,老二为 0.45,老三为 0.4,且每个人必须独立解题，
问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？
略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为
1 ( ) 1 0 .5 0 .5 5 0 .6        P A B C
=0.835
由于前面已将问题的难点进行了分解突破，问题的解决已经水到渠成.并且这个问题
的解决，为俗语“三个臭皮匠顶个诸葛亮”给出了一种数学解释，实现了生活问题的数学
化.同时，也使学生意识到：在力量对比不是十分悬殊的情况下，团队的力量还是大于个
人的力量.可以结合问题，对学生进行团队精神的培养.
5． 总结反思，深化认识：
教师采用谈话法与学生小结交流.
（1）列表对比
互斥事件 相互独立事件
定义
概率公式
（2）解决概率问题的关键：（1）分清事件类型（2）分解复杂问题为基本的互斥事件与相
互独立事件.
6． 作业：（1）巩固型作业：课本 137 页第 4 题，第 6 题，第 7 题；
相互独立事件同时发生的概率（1）
1． 定义：………… 练习：…………… 变式二：……………
2． 性质：………… …………… ……………
3． 概率公式：…… …………… 变式三：……………
4． 例1： ………… …………… ……………
………… …………… 例题： ……………
变式一：……… …………… ……………
投影屏幕
（2）思维拓展型作业：假设事件 A，事件 B 是等可能性事件，且相互独立事件，
证明公式
P A B P A P B ( ) ( ) ( )  .
设计意图：巩固本节知识，为下节课的学习作好铺垫；通过等可能性事件对公式加以
证明，培养学生思维的严谨性.
六、设计说明
1. 板书设计：
2. 时间安排：
课题引入约 5 分钟，定义的理解约 7 分钟，公式的探索约 3 分钟，实践练习约 22 分
钟，小结与作业约 3 分钟.（注：一节课 40 分钟）
3. 教学特色：
1） 以问题作为教学的主线.在趣味性情境中发现问题，在猜想、对比性问题中展
开探索，在实践应用性问题中感悟数学的思维与方法.
2） 以课堂作为教学的辐射源.通过教师、学生、多媒体多点辐射，带动和提高所 有
学生的学习积极性与主动性.

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