八年级下册数学期末复习优秀教学案例几何作图

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让思维之花在交流探究中绽放
问题背景：
新课程理念指出：“教育的意义在于开发人的潜能，充分发挥人的个性。”为此，教者不断探索，力图找到一种能够真正体现这一教育目的的教学模式。在不断地实践和总结中，对于初中数学而言，开放式教学能够很好地展现学生的个性，原因在于开放式教学在问题设置、情境创设、思维创新等方面要求狠下功夫，以达到课堂的生动、有趣，从而达到使每一个学生都能有相应发展的目的。
八年级下册学生零零碎碎地接受了一些几何作图知识，他们在作图方面的知识和方法非常有限，尤其他们的思维发散能力、空间想象能力和创新能力等比较弱，在几何作图时只会按照老师讲过的例题按部就班地依样画葫芦，题目稍有变化就束手无策。笔者为此在八年级下册的期末复习中，专门开设了一节几何作图开放课，在训练学生的发散思维方面竟有意想不到的收获，现与大家分享。
案例描述
片段一：(教师出示例题1)现有一矩形纸片（如图），请你在矩形纸片上，用三种不同的方法画出一个菱形。
要求：（1）画图工具不限；（2）菱形的四个顶点都在矩形的四条边上；（3）画图时，可标出有关线段或角相等的必要记号；（4）用四个大写字母表示所画的菱形。

我要求他们先独立思考。
生1（举手）：老师正方形算菱形吗？
有几个比较外向的学生回答：当然算。
生1：那我有两种了。
很多学生附和，两种没问题。于是我叫了生2回答。
生2：作法一：依次连接各边中点（如图1），作法二：以宽为边长做正方形（如图2）。
接下来我让学生思考第三种，看学生抓耳挠腮地有困难，就允许他们合作，交流。我下去巡视，看到大部分学生拿了工具在矩形上硬是去“凑”出一个菱形来，我知道，他们又遇到了思维的瓶颈。于是我适时地对学生进行引导。
师：矩形、菱形具有哪些性质呢？
这个简单，学生轻松地说出了几乎所有的性质，但差点忘了中心对称性。我补充说明中心对称性的重要性，还暗示他们，谁能运用地起来，谁就能不废吹灰之力“在矩形中画出菱形”来。经我这么一点拨，学生的兴趣被激发起来，大家小组内踊跃讨论。没过多久，学生3就说：老师我们有方法了。
生3：矩形对称中心是对角线交点，端点在矩形边上的线段只要过这个交点必被平分，那我只要过中心作出互相垂直的两条直线，依次连接两条直线与矩形各边的交点即可（如图3）。
我当时就表扬了这个学生，接下来就问学生，本题应该有多少种方法？学生异口同声：无数种。接着问：为什么？几乎所有学生都举起了手。我欣然笑了，我知道学生会作这种图了，而且他们的发散思维能力也被激发了。
我趁机小结：这题我们抓住了图形的本质特性，只要改变这两条直线的位置（保证垂直的前提），就可以得到无数种作法。

片段2：（教师出示例题2）画图题：Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=20°，请用三种不同的方法把Rt△ABC分割成四个等腰三角形。
要求：①工具不限，画图准确；
②标出能说明分法的锐角度数；
③有一条分割线的位置不同就算两种不同的分法。

考虑到题目有较强的能力要求，这题我让学生四人合作学习，十分钟过去了，大部分小组只作出了一种，方法不同，但种类不多。
师：这样的问题我们该如何思考呢？
生4：我作斜边上的高，把直角三角形分成两个直角三角形，然后再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，把两个直角三角形各分成两个等腰三角形。（如图4）
生5：我也根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，但是先取斜边AB中点，，那就得到两个等腰三角形。再把三角形△ADC分割成三个等腰三角形。（我让他画出来，如图5）

生6：我跟图5稍有不同。（如图6）
生7：我跟图6稍有不同。（如图7）

生8：我跟他们有点像但不一样：先过C作一条直线交AB于D，使∠CDB==∠B=70°,继续把△ADC分成三个等腰三角形。（如图8）
生9：我过C作一条直线交AB于D, 使∠DCB==∠BDC=55°,继续把△ADC分成三个等腰三角形。（如图9）

师（点拨）：把图（9）中的△BDC分成三个可以吗？
然后老师和学生一起完成。

（看看学生举手的也没了，时间也差点要下课，我觉得有必要先总结）
师：有这么多方法，这些方法有些规律吗？
生9：我知道要得到等腰三角形，先要画一条线，分成两个三角形，最好是两个等腰三角形，再继续分。
生10：一般把较大的角给分了。
老师肯定了他们的想法。
生11：我明白了一个规律？（这学生叫得很响）
师：你发现了什么新大陆，说出来让打家听听。
生11：其实每一个等腰三角形都可以分成3个等腰三角形。
师：真的吗？说明理由。
生11：锐角等腰三角形例如刚才图10的△BDC这样的分法就行；（学生讲的不是很完整，老师补充：只要先作顶角∠CBD的角平分线，然后过顶点D作一个角∠0DB=1/2∠CBD，且与顶角∠CBD的角平分线交于一点O,再连结OC。然后请学生说明理由）。
生12：因为顶角∠CBD的角平分线，也是底边的垂直平分线，因此到两个顶点的距离相等（OC=OD），所以∠OCD=∠ODC又因为∠BCD=∠BDC,所以∠0DB=∠0CB,因为∠0DB=1/2∠CBD=∠OBD，所以∠0BC=∠0CB，因此得到三个等腰三角形。
钝角等腰三角形例如刚才图5，图6，图7这样的方法；（老师补充：是不是所有的钝角等腰三角形都可以分成三个等腰三角形呢？请说明理由）
如果是等腰直角三角形那就像图4这样的方法（把直角三角形分成两个直角三角形，然后再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，把两个直角三角形各分成两个等腰三角形。（大家鼓掌）
师：说得真好！如果给同学们更多的时间，你们还会有更多的办法，请大家课后思考，整理，并贴在班级的“奇思妙想”，供大家欣赏。
案例反思
整节课学生在老师的引导下，采用小组合作方式，积极思考，充分发挥主观能动性，他们的思维之泉被打开，他们的“潜能”被激发，一种种作图方法被他们好似“信手拈来”。一节本以为要让学生吃力的课，反而学得轻松自如。我想这得益于以下几个方面。
一、教师精心选择，可多元化思考的“发散点”题目。
“发散点”，是指思路可以从一点发散到四面八方，突破思维定势的局限，重新组合已有知识经验，找出许多新的可能的答案。本节课的两个作图题目就是能够启发学生进行多元化思考的问题。一般说来，每道题多多少少存在一些可发散点，例题不同，“发散点”也就不同。只是不同的“发散点”可挖掘的深浅不相同，能够引起思维发散的广度也不同，对于训练的意义和价值自然也就不同。如例一中的生2挖掘的浅，而生3挖掘的广度就较深。这节课选择的两个作图题就是有可拓展的空间，并且有利于学生的探索与发现，能让学生从多角度去思考，多种方法去得到结果的题目，在训练的过程中能充分发挥学生的积极思维，从而让学生学会利用图形的本质特征掌握作图的方法。有了较好的可发散点题目，训练学生发散思维也就有了有源之水，有本之本，就可达到事半功倍的效果。
二、重视过程引导，充分发挥学生主体性。
数学学习活动是以学生为主体的解决问题的活动，在教学中要充分发挥学生的主体性，充分体现课程标准提出的基本理念“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者”。为此，在具体教学时，我给予充分的机会让学生表达他们的思想，充分调动、发挥学生的主动性，鼓励学生在学习活动中主动发现问题和积极探索问题。在形式上则鼓励学生将独立思考与合作学习结合起来，分工合作，展开集体讨论。如例一中，本人在学生独立思考作答后，再想不出其它方法时，并不急于将其它的作图方法直接抛给学生，而是适时点拨引导，让学生采用小组合作形式让他们畅谈自己的想法，展开争论，得出其它的作图方法。再如例二中，所有的作图方法都是学生合作后得出的。在这个过程中经过适当地引导，诱发了学生对问题深层次的理解，学生的发散思维再度被挖掘，他们靠自己的努力得出的作图方法自然要比教师直接给的要强。
三、突破思维定势，鼓励学生多角度发散思维。
有鼓励才能提倡，有提倡才会积极的发散，有发散才有创新，老师应该鼓励学生进行积极的发散，让学生从不同的角度去思考问题。若能充分调动学生探索问题的主动性，其主体思维的发散程度往往还能有所突破甚至超越教师。例如两道例题中的多种作图方法，就是在老师的鼓励下学生多角度发散思维的结果。在数学学习活动中，教师应从不同的角度进行多样化的探究，鼓励学生独立思考。引导学生进行讨论与交流，培养学生良好的思考习惯和合作意识，鼓励每一个学生动手、动口、动脑，积极参与实践与综合应用的学习过程；鼓励学生提出不同看法或解决方法，允许学生有错误的看法或方法；给学生充分的时间与空间，引导学生积极探索。例一中生3的答案和例二中“把△BDC分成三个”的作图方法都是在老师的引导鼓励或是师生互动的氛围中积极探索完成的。
四、及时总结，处理好“放”与“收”的辩证统一。
在方法指导和实践训练之后，教师还应该引导学生自我总结训练的经验得失。如本节课的两道例题，学生掌握了作图方法后，本人都让学生作了总结，把实践中得出的经验提到理论的高度。学生在实践时要“放”得开，而在总结经验时也要“收”得拢，两者要辩证统一。本节课中例二中的前五位同学的回答就很“放”，后五位同学的回答也“收”得很精彩。开放式的数学课，要挖掘课堂教学的潜在功能，但也不能抹杀传统教学方法的优势。“放”是发展能力，掌握知识的手段；同时“收”也不是消极地把学生的思维重新纳入教师既定的思维框架中去，而是带领学生自觉，积极地去回顾、总结。因为总结不仅可以巩固思维成果，还可以为学生提供再发现，再创造的机会，提供进行教学探索的广阔空间，学生的数学创造思维就存在和表现在这样的探索活动中，并在这样的探索活动之中不断发展提高，达成教学目标。这样，学生的思维之花就在交流探究中再度怒放！