数学游戏

数学游戏
游戏对策问题因常与智力游戏相结合，因此具有很大的趣味性.又由于解题方法灵活，技巧性强，所以对开阔解题思路，提高分析问题解决问题的能力是很有益处的。
例1 在一个3×3的方格纸中，甲乙两人轮流（甲先）往方格纸中填写1、3、4、5、6、7、8、9、10九个数中的一个，数不能重复.最后甲的得分是不计中间行的上下两行六个数之和，乙的得分是不计中间列的左右两列六个数之和，得分多者为胜.请你为甲找出一种必胜的策略。
分析 把题中的九个格标上字母：a、b、c、d、e、f、g、h、i。
　　甲的得分为：a＋b＋c＋g＋h+i
　　=（a＋c＋g+i）+（b+h）；
　　乙的得分为：a＋d＋g＋c＋f＋i
　　=（a＋c＋g＋i）+（d＋f）
要想使甲的得分高于乙的得分，必须且只需使b＋h＞d+f.要想使b＋h＞d＋f，甲有两种策略：一是增强自己的实力——使b、h格内填的数尽可能地大；二是削弱对方的实力——使d、f格内填的数尽可能地小.下面分两种情况进行讨论：取胜的总策略是“增强自己，削弱对方”两者兼顾。
为了使叙述方便起见，我们分别用（甲2）和（a5）分别表示“甲第二轮”和“在a处填数字5”，其余如（乙1），（甲1，b10）等含义类同。
一、甲首先使b、h处填的数尽可能大.譬如，（甲1，b10）。
1.乙为了不输，（乙1）必须在h处填数.（否则，即如（乙1）不在h处填数，（甲2）在h处填余下来的最大数后，无论（乙2）怎么填，最后总有b＋h≥10＋8=18＞16＝9＋7≥d+f，甲胜）.这样，必须（乙1，h1）.（乙当然在h处填最小数）
2.（甲2）不能在d处或f处填数.（否则，如（甲2，dx），x为任一数，则（乙2）在f处填余下来的最大数后，即有d+f≥3＋9＝12＞11＝10＋1＝b+h，乙胜）.当然（甲2）填9，譬如（甲2，eg）.（以后，只要甲不填错，即只要把余下数中的最小者填入d或f，就不会输了）
3.显然，（乙2，d8），乙就不会输了.因此不分胜负（此时（甲3）必须（f3））。同样，若（甲1，h10），只要乙应对正确，乙就不会输。
二、甲首先使d、f处填的数尽可能小（才有可能必胜）.譬如，（甲1，d1）。
1.若（乙1）不在f处填数时，（甲2）在f处填余下来的最小数，则最后必
　　b＋h≥3＋5＝8＞5=1＋4≥d＋f，甲胜。
　　2.若（乙1，f10）（乙当然在f处填最大数），则（甲2，b9），最后必有
　　b＋h≥9＋3＝12＞11=1＋10=d+f，甲胜.
　　因此，只要（甲1，d1），且以后甲每次应对正确，则甲必胜。
　　解：甲第一轮采用削弱对方策略，把1填入d格（或f格）内，以后无论乙怎样填，甲第二轮“随机应变”，只要把尽可能大的数填入b或h格内，或者把尽可能小的数填入f格（或d格）内（在乙没有在f或d格内填数的情况下），甲都能获胜。