《计算方法》课程教学大纲

一、课程目标

数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，具有高度的抽象性、严密的逻辑性、广泛的应用性的特点。计算方法是一门研究适合于在计算机上使用、实际可行、理论可靠、计算复杂性好的数学问题的求数值解的方法、过程和理论，与计算机的应用联系密切，实践性很强的综合性数学学科。

　　计算方法是计算机科学与技术各专业的重要的基础和工具。通过计算方法的学习，可以培养学生运用计算方法学科所提供的思想和方法解决简单问题的能力，为学生学习高级程序语言，学会编制大型的复杂的数值计算程序打下数学的基础。

本课程应当达到如下教学目标：

1、使学生了解计算方法的基本知识，掌握计算方法的基本理论和方法。

2、使学生学会用基本的计算方法进行科学计算，学会进行基本的算法分析，培养学生用数学的思想方法分析问题解决问题的意识和能力。

3、使学生受到思想政治教育。

 

二、课程内容

第一章 数值计算中的误差

  1.1 引言

 1.2 误差的种类及其来源

1.3 绝对误差和相对误差

1.4 有效数字及其与误差的关系

1.5 误差的传播与估计

1.6 算法的数值稳定性

目的：介绍数值分析的研究对象，设计算法的注意事项及对误差的刻画。

第二章 插值法

2.1 问题的提法

2.2 拉格朗日插值公式

2.3 牛顿插值公式

2.4 分段低次插值

*2.5埃尔米特插值

2.6样条函数

1.8数值微分

目的：本章介绍了拉格朗日插值法、Hermite插值法、分段插值、三次样条插值逼近，它是数值微分、积分和微分方程数值解的基础。

 第三章 曲线拟合的最小二乘法

    3.1 引言

3.2 问题的提法

3.3 最小二乘解的求法

3.4 加权最小二乘

3.5 利用正交函数作最小二乘

目的：本章介绍最小二乘解法及其应用

 第四章 数值积分

4.1 机械求积

4.2 牛顿－柯特斯公式

*4.3 外推及龙贝格算法

4.4 高斯公式

目的：本章介绍了积分的常用数值计算方法及其误差估计。

 第五章 非线性方程的数值解法

5.1 引言

5.2 二分法

*5.3迭代原理

5.4 牛顿---雷扶生法

5.5 弦截法与抛物线法

5.6 迭代法的收敛阶和Aitken加速

 目的：本章介绍了求解非线性方程的迭代法及收敛理论。

 第六章 线性方程组的数值解法

5.1 引言

5.2 Gauss消去法

5.3 主元素的Gauss消去法

5.4 矩阵的三角分解

5.5  追赶法

5.6  平方根法

5.7 向量和矩阵的范数

*5.8 解非线性方程的迭代法

5.9 病态方程组和迭代改善法

目的：本章介绍了求解线性方程组的直接法与一些基本的迭代法。在使用迭代法，涉及收敛性及收敛速度的问题。

第七章 常微分方程的数值解法

7.1   问题的提出

7.2 欧拉方法

7.3   龙格－库塔方法

7.4   Adams方法

7.5   算法的收敛性与稳定性

7.6   方程组与高阶方程的情形

7.7   边值问题的数值解法

目的：本章研究求解常微分方程初值问题的数值方法。对方法的分析还涉及到局部截断误差、整体误差、收敛性等概念。

三、教学目的及要求

通过本课程教学的主要环节（课堂讲授与讨论、习题课、作业、辅导答疑等），让学生掌握一些常用数值分析方法的基本理论，并能借助于计算机这一高效计算工具和本课程中的基本数值计算方法来解决某些工程实际中的数学问题，获取其近似解。

本课程作为计算机科学和应用数学的重要组成部分，对计算机的发展与应用起着十分重要的作用，它是数值软件的理论基础之一。在系列课程地位上，本课程作为计算机及应用专业重要基础课它最后完成了将已学的高等数学和程序设计知识结合起来应用到解决实际问题的过程。本课程通过介绍各种常用数值算法，要求学会评价各种算法的优劣，了解它们在计算时间，空间方面的开销及在有限字长环境下舍入误差的影响，能根据实际问题选择合适的算法和运算环境。本课程不仅理论严谨，而且实践性强，要求同学能用高级语言描述数值算法并上机调试，这样使同学不仅具有一定的科学计算能力，而且对他们从事数值软件的研制与维护，算法语言设计与实现，计算机系统设计，并行算法和计算机图形学研究等等都是十分有益的。

本课程内容的重点、深广度主要有以下几点：

1、掌握用插值基函数构造插值多项式的方法及余项表达式的证明、三次样条

     插值函数的判断、用最小二乘法进行曲线拟合。

         2、 学会从插值多项式得到数值微分与牛顿-柯特斯求积公式的过程及代数精度

     的确定、复化求积公式的建立、余项表达式的证明。

3、 熟练掌握用尤拉方法、改进的尤拉方法、龙格-库塔方法计算初值问题数值

     解以及方法的局部截断误差和精度分析。了解单步法与多步法、显示方法与隐式方法

     的概念、特点。

4、    理解二分法原理，一般函数迭代的的概念，弦截法与牛顿迭代法原理，熟练掌握二分法、迭代法及收敛定理的应用。

5、理解并掌握向量与矩阵几种常用范数、矩阵的条件数的计算,了解误差分析中

     矩阵条件数的意义，熟练运用（列主元）高斯消去法求解线性方程组， 知道选主元减少误差  传播的原理，理解迭代法求解线性方程组的一 般原理及雅可比迭代、赛德尔迭代收敛性的判别定理，熟练掌握雅可比迭代，赛德尔迭代两种算法。

 四、参考科目

      先修课：高等数学，线性代数，C语言程序设计

 五、对学生能力培养的要求和方法

1、掌握大纲规定的基本内容，即常用的科学与工程计算的基本方法
2、能用所学方法在计算机上算出正确结果，并能完成基本的练习和作业
3、通过学习培养逻辑思维能力和提高数学推力能力。

 六、学时分配建议（具体见教学计划表）

课程内容	学时数（学时）	习题课（学时）	上机实验（课内）
数值计算中的误差	5	1
插值方法	12	2
曲线拟合的最小二乘法	5	1
数值积分	8	2
非线性方程的数值解法	3	1
线性方程组的数值解法	13	3
常微分方程的差分方法	12	2
合计	58	12
总计	70

 

七、考试方式

考试成绩由平时作业、课堂提问、考勤和期末考试组成。

平时作业和课堂提问：10%

考勤：20%

期末考试：卷面考试70%，包括计算题、证明题等。