《中高段学生混合运算出错原因探析和对策的研究》
结题报告
【内容摘要】到了小学高年级，学生在混合运算以及解决问题过程中暴露出的计算错误问题日渐突出。用学生自己的话来说是粗心所致，其实，在这“粗心”的背后隐藏着许多需要教师关注的信息。本课题旨在通过对小学高年级学生混合运算出错原因探寻，找到学生“粗心”背后的真正动因，并通过对资料的整理，对实践经验的总结，探索行之有效的引导策略，使学生计算的准确性得到提高，为解决问题的正确性以及学生的学习发展打下坚实的基础。
【关键词】混合运算 出错 原因 探析 对策 研究
一、问题的提出
计算是数学中的一种基本能力，计算速度的快与慢，计算结果的对与错将对学生的解决问题产生最为直接的影响。通过对小学高年级学生数学练习的跟踪调查，凡是解决问题能力强的同学，计算能力肯定一流，凡是计算能力不好的学生，在解决问题时既耗时耗力又容易出现错误。计算的准确性与否将直接影响学生解决问题的正确性。因此，提高学生的计算能力是学生学习发展的重要保证，是学生终身学习必备的学习能力要求。但是在我们的实际教学中，学生对计算掌握得并不是很好，尤其表现在混合运算方面，由于混合运算步骤繁多，计算的综合性强，学生错误率极高。用学生自己的话来说是粗心所致，其实在这粗心的背后有更深层次的原因，因此我们迫切想对这一方面的问题进行研究。期望通过对学生计算错误题目的分析，找到计算出错的真正原因，从而进行整改、落实教学，为教师更好的教，学生更好的学打下基础，真正提高计算教学的实效。
二、课题研究的过程
确立了本课题研究之后，课题组就深入课堂，开展探索性的教学活动。
首先，对小学高年级阶段涉及到的“混合运算”内容进行了系统地梳理，明确本教学内容在各年级的具体要求和目标。具体见下表：
“混合运算”在小学中高段数学教学中的分布及目标
年级
内容
教学目标
四（上）
带有中括号的三步混合运算
1.能进行简单的整数四则混合运算，并能解决一些简单的实际问题。
四（下）
小数混合运算
1．通过计算电视广告每秒多少元，学习小数连除和乘除混合运算，体会到其运算顺序和整数是一样的。
2．会计算小数四则混合运算（以两步为主，不超过三步）。
3．利用学过的小数加、减、乘、除法解决日常生活实际问题，培养应用意识。
五（上）
加减混合运算
1．理解分数加减混合运算的顺序。
2．能正确计算分数加减混合运算。
五（下）
分数混合运算
1．掌握分数混合运算的运算顺序，并能够正确计算。
2．能结合具体情境，解决简单分数混合运算的实际问题，体会分数混合运算在现实生活中的应用。
3．通过观察、比较，体会整数的运算律在分数运算中同样适用。
4.结合具体情境，能利用方程解决有关的分数混合运算的实际问题。
六（下）
总复习：
计算与应用
1.会分别进行简单的小数、分数加、减、乘、除运算及混合运算。
2.能结合现实素材理解运算顺序，并进行简单的整数四则混合运算。
其次，根据以往的教学经验，收集学生混合运算方面经常出错的题目，让学生集中练习，通过对练习的批改，发现学生在混合运算方面存在的问题。
第三，对学生的错题进行分析、分类整理，探寻学生混合运算错误的真正原因。
最后，对所积累的资料再次进行分析整理，形成对混合运算错误的现象的引导策略，完成小课题结题报告。
三、课题研究的实践过程与结果
（一）小学中高段学生“混合运算”出错现象的原因探寻
为了了解学生“粗心”背后的真正原因，课题组老师针对此问题进行了有效的研究。
1.访谈记录
访谈记录表
访谈时间
2010.04
访谈对象
四、五、六年级部分混合运算错误率高的学生。
访谈内容
到了四、五、六年级，我们经常碰到混合运算的题目，很多同学的错误率比较高，你是不是也碰到过这种问题，能不能说说看你为什么也会经常出错？
访谈记录
学生1：我觉得我太粗心了，在计算时，不是把题目数字抄错，就是把题目中的加号看成乘号，或者是算出来一个数，写下里的时候又不小心写错。
学生2：有些题目让我说运算顺序我会的，但是在考试时（做题）时可能太紧张了，总是不小心要出错。
学生3：特别是在分数、小数混合运算时，有些时候我不知道该把分数转化成小数做好还是把小数转化成分数做简单……
学生4：对于能简算的题目我不知道怎么判断
……
通过访谈，我们发现多数学生害怕混合运算，尤其惧怕“分数、小数混合运算”，并且大部分同学把自己计算错误的原因归结为粗心，看错。很少有学生会认为自己是因为一步、两步的计算不够熟练，或者认为自己还没有很好的掌握计算的一些基础知识等原因才导致做题时出现手忙脚乱、错误百出的问题。
2．个案跟踪调查
在决定研究这个课题前，我们就对学生的混合运算情况进行了特别的关注。决定做这个课题后我们又准备从两个方面出发进行研究，一个方面是学生的个体，还有一个方面是学生的的整体。学生的个体研究准备选一个学生个体进行跟踪研究和记录，学生整体研究准备出试题检测，发现学生普遍存在的问题，然后对试题进行分类、研究。通过对各方面进行比较，学生个体的研究我们选择了我班的一名男生小A，为了方便我的辅导，我让他买了《口算题卡》。下面择部分辅导日记如下：
2010年5月10 星期一
根据以往的观察，我发现小A这个个体比较典型：他很聪明，但是一直以来的学习习惯都不算好，字迹潦草，听课不认真，还很懒，每次试题检测他都在80分上下，错误基本上集中在计算上，但是这个孩子的潜力应该是有的，所以我选了他。今天我把他找来进行了思想上的沟通，肯定了他许多优点，也指出了他在数学学习上的不足，并且告诉他我愿意帮助他，希望他通过我的帮助能获得进步。这是我们第一次交流，他表现出了对学习的热情。
2010年5月17日 星期一
一个礼拜后，今天我又找来小A，我拿出他周末的家庭作业（口算题卡），错误题目不是很多，选了几道 ，我和他一起分析了错误原因。
1
 

①3.25-0.87+1.4
　　=6.25-2.27
=3.98

②1.92÷0.6×0.6
=1.92÷0.36
　　=1.56
　　
③30+4.2÷1.5×3
　　=34.2÷1.5×3
　　=22.8×3
　　=68.4
1
 

错解（1）和错解（2）是把运算顺序中的“先乘除，后加减”理解为“先乘后除”和“先加后减”。“先乘除、后加减”是针对加减乘除四则运算混合在一起而言。如果只有加减，则加在前先算加，减在前先算减；如果只有乘除，则乘在前先算乘，除在前先算除，即“从左往右依次计算”。错解（3）是没有按先乘除后加减的顺序，盲目地从左往右算，违反了四则混合运算的顺序的规定。
通过今天的练习，我着重帮助小A理清混合运算的运算顺序，并且让他在理解的基础上进行了记忆，此外我还设计了带括号的题目等4道题目着重让他巩固，具体的做法是让他用数字标出运算的顺序。接下去几天，我要求对他在做题前一定先标好混合运算顺序，再动手。
2010年5月26日 星期三
经过了一个多礼拜的训练，发现小A对运算的顺序有了较好的掌握。我就又出了一些表容易出错的题目让学生继续练习。
①3+÷+3 ②（6×÷×6）÷（＋0.4） ③……
2010年6月4日 星期五
经过这么长时间的辅导和训练，小A自信心大增，本来就是比较聪明的孩子，认真学了以后发现进步很大。但是同时他自己也向我提出了问题 ，他说他自己有些能简便运算的题目不太做得来，希望得到我的帮助。我先对小A进行的题目的检测（见下），发现他运算定律和运算性质掌握很不好，也就说他在解题时根本没能力判断能不能简便，该怎样简便。于是我又开始了漫长的“运算性质和定律”的辅导过程。因此接下去几天，我对小A的又进行特别辅导和训练。通过辅导我更加确定运算定律和运算性质的掌握一定是要建立在理解的基础上进行，不能光背公式，光记住模式，不是根本意义上的理解，不理解了也就不可能运用了。
①×＋×8.25＋ ②-(+)
=(++8.25)× =-+
=× =
…… ……
(运算定律未掌握) （运算性质未掌握 ）
2010年7月3日 星期六
期末检测，关注了小A的数学试卷，发现成绩有所提高 ，但是混合运算的题目还是有错误出现，比如分数、小数混合运算中，涉及到约分、通分，涉及到分数化小数做简便 还是小数化分数做简便，小A还不能进行很好的判断，看来暑假前还需要指导一次，并布置假期进行训练。
小A的数学日记（辅导总结日记）：
2010年11月17日 星期三
真的非常感谢老师，这么耐心的帮助我，鼓励我，让我在数学的学习上有了很大的进步，尤其是在计算方面的进步。以前我是个很不认真的学生，我总觉得玩是最开心的，所以上课时都不太听，结果到后来我发现很多题目都做不来了。正当我对学习越来越没兴趣的时候，老师找到了我，并且热情的说愿意帮助了，而且老师说我是她从两个班的学生选出的唯一一个，听了之后我真是太兴奋了，一回家我就把这个好消息告诉的妈妈，妈妈也很高兴，直夸老师真好，并且叮嘱我要好好学习。我满口答应。接下去的一段日子，老师经常找我，我也经常找老师，我提问题，老师帮忙，就这样在一次次的错误，一次次的成功后，我发现以前让我头痛不已的计算显得越来越简单了，我一次次获得了成功的喜悦，现在，一般的混合运算题目已经不太难得倒我了，也许正是因为一次次的成功，不仅在计算方面，对数学其他知识的学习我也越来越有兴趣。通过我自己的例子我也想告诉其他的小弟弟小妹妹，在学习时一定要非常认真，否则你一个知识点没学会，接下去的学习会更加难懂，这样恶性循环，会对学生失去信心，永远都发现不了学习是件快乐的事。我真的很幸运。谢谢老师。
3. 试题检测
为了更清楚、准确的找到混合运算出错的原因，我们还准备了“带有中括号的三步混合运算、小数混合运算、分数混合运算、小数分数混合运算”这四种类型的题目让全体学生进行测试，然后对试题进行批改、 分类、整理。通过对错题的研究，发现正如访谈一样，学生的错误主要集中在“分数、小数混合运算”，对学生的错题重点分析研究后，找到学生计算错误的本质原因。
4.实践后的思考
通过对学生的访谈以及对个案的跟踪和学生整体错误题目的分析，我们找到了学生混合运算“粗心”背后的真正原因，整理如下：
（1）心理状态不稳。心理状态的不稳定，使学生极易受到一些特殊情况的干扰。这类干扰一般分为两类：一类是视觉干扰，即对算式或题目的数字在感知时产生错觉，或者是抄错、或者是脱漏算式中的数字及符号，或者是在对题目某一部分的感知中强成分掩盖了弱成分；另一类是经验干扰，如旧法则影响了新法则。
（2）口算基础薄弱。在测试的题目中，有不少同学在计算时会出现3×8=26 ，4×7=27等低级口算错误。所谓熟能生巧，连最基本的表内加减法和表内乘除法都不够熟练，怎么会不出现在计算时出现这样看错，那样算错的“粗心”现象呢。
（3）运算顺序、法则掌握不良。例如：
1
 

①6.25-0.87+1.4
　　=6.25-2.27
　　=3.98
②7.08÷0.5×0.6
=7.08÷0.3
　　=23.6
　　③45+4.2÷1.5×3
　　=49.2÷1.5×3
　　=32.8×3
　　=98.4
　　④27+5.5（1.8+0.6）
=32.5×2.4　
=78
　⑤516-（58+2.16×5）
　　=516-（60.16×5）
　　=516-300.8
　　=215.2


1
 

　　〔分析〕
产生上述错误的原因是学生对四则混合运算的运算顺序法则没有掌握。错题①是把“先加减”理解成“先加后减”，错题②是把先乘除理解为“先乘后除。“先乘除、后加减”是针对加减乘除四则运算混合在一起而言。如果只有加减，则加在前先算加，减在前先算减；如果只有乘除，则乘在前先算乘，除在前先算除，即“从左往右依次计算”。错题③是没有按先乘除后加减的顺序，而是直接从左往右算。错题④是没有先算括号里面的，也没有按先乘除后加减的顺序计算。错题⑤是括号里没有按照先乘除后加减的顺序计算。所以，四则混合运算中，要牢牢掌握运算顺序的规定，并通过适当的练习形成熟练技巧。
（4）简算技巧缺乏。简便运算是在四则运算的基础上的一种高级的混合运算，是混合运算的技巧。通过正确、合理地运用各种定义、定理、定律、性质、法则等，可以改变原有的运算顺序进行计算，使复杂的计算变得简单，让学生掌握简便运算的方法，是提高学生运算速度的重要途径。 混合运算具有综合性强，联系的概念和法则多，定律和性质运用集中，方法灵活等特点。作为代数运算中的基础运算，它在计算时也有一定规律和技巧。但是我们学生在运算前不能很好的分析和研究题目的内在特征，并根据这些特征灵活巧妙地运用运算法则、运算定律和针对性地运用一定的方法和技巧，致使本可简单的问题复杂化。
如计算2002× 从学生的练习情况看，很多同学因为没有很好的掌握简算的技巧，就直接按照整数乘以分数的计算法则计算，这样做非常麻烦。事实上，这道题目可以根据题中数的特点，合理灵活地选择计算方法，把题目中的因数拆成两数和或两数差的形式，这样就既简单又快速。
　　　方法：2002× ＝（2001＋1）×
　　　　　　　　　　　 ＝2001× ＋1×
　　　　　　　　　　　 ＝2000
(5)计算基础知识不扎实
混合运算中最容易出错的是小数、分数加减混合运算，该部分的内容是基础之一是分数、小数互化。也就是说在运算时，常常需要把小数化为分数或把分数化为小数在计算，但是由于学生这部分的内容的基础不扎实，在计算的过程中出现这样那样的错误，同时也导致的最终运算结果的错误。
再如，学生数的整除相关知识不够扎实，表现为约分、通分不敏感。我们知道分数混合运算需要用到通分、约分的知识，而通分、约分又是以因数、倍数的知识为基础的。一系列的基础知识不扎实，使得学生一道题目往往要花费更长的时间，而正确率又难以保证。
（二）小学中高年级学生“混合运算”错误现象的引导策略
在对学生的错误现象进行引导时，除了要调整学生状态、培养良好计算习惯、提高学生的口算能力外，更应该在指导学生排除干扰、理解混合运算的顺序和法则以及学习计算技巧等方面下苦功夫。
（1）强化训练，调整状态，排除干扰
学生由于心理状态不稳引起的计算错误问题特别常见，这类学生常常因为计算基础不够牢固，而对计算产生畏惧心理，在计算时严重缺乏信心，极易出现计算错误。作为教师我们除了要鼓励学生，帮助学生调整状态外，更应该注重知识的起始的教学。为了杜绝一些特殊的数对运算法则所产生的干扰，如1-[1-（1-÷）]、×9÷×9等，避免因数据干扰造成计算的错误，在最初的教学时就要经常性的进行错例分析、强化训练。引导学生在审题时先看数据，再看顺序，碰到数据时要稳，保持清晰的头脑和思路。
（2）帮助学生掌握混合运算的运算顺序和法则
在教学运算顺序时，一定要把握好例题的教学。教学时，注意反映知识发生的过程，揭示和建立新旧知识的内在联系。同时还要注意教学的序列，切实打好基础，突出教学重点。让学生真正理解、掌握混合运算的顺序和法则。建议教学时分如下几个步骤：
第一，将几道有关联的一步运算式子组成一个综合算式，指出分数四则混合运算的顺序与整数四则混合运算的顺序相同。
第二，要求学生说出这道分数四则混合运算题是几步计算，并标明运算顺序。

1
 

柯城教研 2011第三期 · 总第68期
第三，在上题的不同部位分别加上小括号或中、小括号后，让学生继续练习。
第四，在练习中安排像4÷4/5-4/5÷4,1-[1-（1-3/8÷3/8）]等的内容继续进行错题分析和强化训练。
引导学生计算时注意以下几点：
①认真审题：遇到混合运算的式题时，不要急于计算，先把整个式子看一看，看看有几类数，有几种运算符号。

②注重分析：通过审题认真分析先算哪一步，再算哪一步，确定运算顺序。刚开始练习时，要求学生用画线标号的方法指出运算顺序。
③选择方法：注意先整体观察题目，看看哪些地方可以简便运算，分数与小数混合运算能不能直接运算，不能直接运算的，应统一为分数还是统一为小数等。
（3）指导学生理解概念、掌握算理
数学知识是建立在一系列数学的概念基础上，如笔算加法的计算法则是由“数位”“个位”“相加”“满十”“进一”等一系列数学概念组成的。如果概念不清，就无法依据法则、定律、性质、公式等数学知识正确计算。在此基础上，还需要指导学生理解概念，掌握算理，使学生会算，首先必须使学生明白为什么这样算，也就是加强算理及法则的理解，在教学时，教师应清晰地指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然、知其所以然。在混合运算中经常会出现的小数乘以整数的情况，如，2.68×1200，有很多学生最后的结果小数点的位置点错，其实在列竖式计算时我们可以把竖式列成
这样的话计算就会方便，许多，而且正确率也会比较高。
（4）加强计算的基础训练，提高计算技巧
要使学生更好的掌握计算技巧，灵活选用运算定律，特别需要教师重视混合运算中的基础训练。
简算训练：分数混合运算与整数、小数混合运算的定律相同，但有时一些变式不易看出，需多观察算式的特点。常见的有以下几类：
①整数乘除计算用分数算。如3200÷760×19=3200×=80
②根据运算定律、性质选择简便的方法。6.7×3.2+0.67×68,48×(++)
③综合运用分数与除法之间的关系，分数的基本性质，分数除法计算法则等知识，简化运算过程。如83.2÷(83.2÷11),157÷25
约分训练：分数的分子分母含有7,11,13,17，19等公因数的分数要加强约分训练，在乘法运算中，小数与分数的分母同时除以一个数的情况要加强训练。
判断训练：分数和小数混合运算时，统一为分数形式，还是小数形式，要能迅速做出判断，这也需要多训练。
分数互化训练:在课本中，很少出现整数减带分数或整数减假分数，学生遇到此种情况，经常束手无策，可做适当的补充练习强化假分数与带分数的互化练习，以及整数与假分数的互化练习。
四、研究成效分析
本课题的研究，以素质教育为核心，以新课程理论为指导，以发展学生的能力为目标，进一步关注学生的学习心理和学习状态，提高了学习效率。 通过一年时间的实践与研究，我们初步掌握了我校高年级学生混合运算正确率不高的具体原因以及形成了混合运算出错现象的引导策略，提出了老师对他们的调适策略和学生自我调适的方法。通过该课题的研究和实施，教师对混合运算的教学水平得到提高，学生的运算兴趣和运算能力得到提高，为更好的解决问题打下了坚实的基础。
五、问题与思考
关注高段学生混合运算出错现象，是对当前学生更快更好的解决问题的探索和思考，一年来，我们时刻关注混合运算出错学生，并就积极干预和引导做了大量的工作，也取得了一些成绩，但在实验过程中，也给我们留下了一些问题和思考。
关于学生混合运算出错的原因分析和引导策略，在理论方面还不够系统，有很多空白需要填补，作为一线教学的教师，缺乏系统理论的指引，给研究的深入、系统化带来困难。另外，学生出自不同的家庭，有不同的性格、经历，给实验带来了很大的挑战，因此在大班额的教学环境下，如何针对学生的特点因材施教，又能照顾到全体，值得继续深入研究。
六、参考文献：
[1]王权主编《小学数学教育学》，华东师范大学出版社1997.2第三次印刷。
[2]《特级教师教学论文荟萃》，浙江教育出版社2000年1月第二次印刷。