《实数与数轴》教学叙事

【内容提要】
此教学叙事文章紧扣《数学课程标准》，从教学叙事的角度，边展示教学片段，边运用新课程理念审视、反思课堂教学。
【设计理念】
在课程改革前的中小学数学教学大纲和教材中，数学史主要起两方面作用：通过介绍中国古代数学成就进行爱国主义教育；通过提供少量“花絮”提高学生的学习兴趣。
在新一轮中小学数学课程中，数学史首先被看作理解数学的一种途径。
义务教育阶段各科课程目标都围绕三个基本方面：知识与技能，过程与方法，态度情感价值观，对于理科课程，还进而包括理解科学、技术与社会之间的关系，尝试科学教育与人文教育的融合。
数学史对于揭示数学知识的现实来源和应用，对于引导学生体会真正的数学思维过程，创造一种探索与研究的数学学习气氛，对于激发学生对数学的兴趣，培养探索精神，对于揭示数学在文化史和科学进步史上的地位与影响进而揭示其人文价值，都有重要意义。
【教学片段】
片段一：
师：在初一年我们了解了有理数及其发展的过程，那一位同学能给我们大家回顾一下呢？
生：自然数的一个特点就是由不可分割的个体组成。比如说树和羊这两种事物，如果说两棵树，就是一棵再一颗；如果有三只羊，就是一只、一只又一只。但不能说有半棵树或者半只羊，半棵树或者半只羊充其量只能算是木材或者是羊肉，而不能算作树和羊。不过，自然数不足以解决生活和生产中常见的分份问题，因此数的概念产生了第一次扩张。分数是对另一种类型的量的分割而产生的。比如，长度就是一种可以无限地分割的量，要表示这些量，就只有用分数。随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示自然数是远远不行的。如果分配猎获物时，5个人分4件东西，每个人人该得多少呢？于是分数就产生了。中国对分数的研究比欧洲早1400多年！自然数、分数和零，通称为算术数。自然数也称为正整数。随着社会的发展，人们又发现很多数量具有相反的意义，为了表示这样的量，又产生了负数。这样数就扩张到了有理数。在有理数的发展过程中，希腊学派毕达哥拉斯对有理数的发展有特殊的贡献；他们最早把数的概念提到突出地位。他们很重视数学，企图用数来解释一切，认为宇宙中的数都可以用整数来表示。宣称数是宇宙万物的本原，研究数学的目的并不在于使用而是为了探索自然的奥秘。他们从五个苹果、五个手指等事物中抽象出了五这个数。这在今天看来很平常的事，但在当时的哲学和实用数学界，这算是一个巨大的进步。在实用数学方面，它使得算术成为可能。在哲学方面，这个发现促使人们相信数是构成实物世界的基础。
师：你说的非常棒，你带我们回顾了数的发展中的一个重要历史过程。毕达哥拉斯学派，是一个研究数学、科学和哲学的团体。他们认为"数"是万物的本源，支配整个自然界和人类社会。因此世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉。他们所说的数是指整数。分数的出现，使"数"不那样完整了。但分数都可以写成两个整数之比，所以他们的信仰没有动摇。但是毕达哥拉斯学派中一个叫希帕索斯的人在研究边长为1的正方形时，发现它的对角线的长不能用一个有理数来表示，这是一个从未见过的新数，这个新数的出现使毕达哥拉斯学派感到震惊，动摇了他们哲学思想的核心，为了保持支撑世界的数学大厦不要坍塌，他们规定对新数的发现要严守秘密，而希帕索斯还是忍不住将这个秘密泄露了出去，据说他后来被扔进大海喂了鲨鱼。同学们想知道这个数是什么，它应该怎样表示吗？　　
生：想。
师：那我们就动手来实践探索一下：边长为1的正方形的对角线长到底是怎样的一个数。
学生在教师的指导下，通过剪纸与拼图得到所需的图形，并得到二次根号2，然后用计算器检验它是一个无限不循环小数，不是前面学过的有理数，从而引出本节课的课题《实数》。
片段二：
师：当你们看到“有理数”与“无理数”这两个词时，你们的第一感觉是怎么理解的？
生：有道理的数与无道理的数。
师：现在你们觉得这样理解对吗？
生：不对。
师：可是我们的前辈真的是这样理解的。你们知道这两个词是什么时候引入我国的吗？
学生说不知道，并急切的想知道。
师：这两个词是在清朝末年的时候进入我国的，当时是从日本进口的。大家都知道，当时我们国家是怎样的一种情况。这两个词的英文分别是rational&irrational，它们在英语词典中直接翻译就是有道理的与无道理的，所以我们的前辈就这样翻译过来了。你们现在用自己的理解说一下，这样合理吗？
生：绝对不合理。
师：因此，我们一定要学好基础知识，才不会在科学上闹笑话，才能为国家的发展贡献自己的力量，我们的国家才能在世界民族之林屹立。
【体会与反思】
历史往往揭示出数学知识的现实来源和应用，从而可以使学生感受到数学在文化史和科学进步史上的地位与影响，认识到数学是一种生动的、基本的人类文化活动，进而引导他们重视数学在当代社会发展中的作用，并且关注数学与其他学科之间的关系。一般说来，历史不仅可以给出一种确定的数学知识，还可以给出相应知识的创造过程。对这种创造过程的了解，可以使学生体会到一种活的、真正的数学思维过程， 而不仅仅是教科书中那些千锤百炼、天衣无缝，同时也相对地失去了生气与天然的、已经被标本化了的数学。从这个意义上说，历史可以引导我们创造一种探索与研究的课堂气氛，而不是单纯地传授知识。这既可以激发学生对数学的兴趣，培养他们的探索精神，历史上许多著名问题的提出与解决方法还十分有助于他们理解与掌握所学的内容。
历史的发展过程可以告诉我们， 在一个专题、一个概念或一个结果的发展中，哪些思想、方法代表着该内容相对于以往内容的实质性进步，从而更深刻地理解它。历史还可以告诉我们在学习过程中可能发生的困难以及克服该困难的可能的途径。
比较历史上的不同时期、不同民族或地区对同类问题的不同处理方式， 或同类方法的不同地位与应用， 可以启发学生的解题思路，并从中比较优劣， 体会到数学思维的真谛。
历史可以为我们提供那些答案是“不可能”或“不存在”的问题， 而对这些问题的探索， 是数学研究的一个极为重要的方面，也是数学思维品质的一个重要方面。
对于那些需要通过重复训练才能达到的目标，数学历史名题可以使这种枯燥乏味的过程变得富有趣味和探索意义，从而极大地调动学生的积极性，提高他们的兴趣。对于学生来说，历史上的问题是真实的，因而更为有趣；历史名题的提出一般来说都是非常自然的，它或者直接提供了相应数学内容的现实背景，或者揭示了实质性的数学思想方法，这对于学生理解数学内容和方法都是重要的；许多历史名题的提出与解决与大数学家有关，让学生感到他本人正在探索一个曾经被大数学家探索过的问题，或许这个问题还难住了许多有名的人物，学生会感到一种智力的挑战，也会从学习中获得成功的享受，这对于学生建立良好的情感体验无疑是十分重要的。向学生展示历史上的开放性的数学问题将使他们了解到，数学并不是一个静止的、已经完成的领域，而是一个开放性的系统，认识到数学正是在猜想、证明、错误中发展进化的，数学进步是对传统观念的革新，从而激发学生的非常规思维，使他们感受到，抓住恰当的、有价值的数学问题将是激动人心的事情。
许多大数学家在成长过程中遭遇过挫折，不少著名数学家都犯过今天看来相当可笑的错误，介绍一些大数学家是如何遭遇挫折和犯错误的，不仅可以使学生在数学方法上从反面获得全新的体会（这往往能够获得比从正面讲解更好的效果），而且知道大数学家也同样会犯错误、遭遇挫折，对学生正确看待学习过程中遇到的困难、树立学习数学的自信心会产生重要的作用。数学思想形成中的曲折与艰辛以及那些伟大的探索者的失败与成功还可以使学生体会到，数学既不仅仅是训练思维的体操，也不仅仅是科学研究的工具，它有着丰富得多的人文内涵。同时又会增添许多文化韵味并极大地激发学生的兴趣，从而有助于学生对数学建立良好的情感体验。