课题
平面向量基本定理
学科
数学
年级
高一
相关领域
向量
教材
人民教育出版社数学B版必修四
指导思想与理论依据
由特殊到一般，再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一．而对数学而言，由特殊到一般，再由一般到特殊是人们学习和研究数学的重要思想之一．本节课的教学就是基于这一数学思想而设计的．
本节课的教学过程共设计四个环节：复习引入、定理发现、定理应用、课堂小结．在复习引入的环节，从学生认知的“最近发展区”出发，通过一个特殊图形——平行四边形中的向量表示问题引入，既复习前面所学知识，又为本节课定理的发现做铺垫，从平行四边形这一特殊图形出发，过渡到学生对一般情况的猜想和探究．在定理发现环节，学生自主处理的向量脱离了平形四边行的限制，变成相对更为一般的用平面上的两个向量来表示平面上的任一向量．学生也从对于特殊图形特殊位置的向量研究过渡到更为一般情况的研究，这是为平面向量基本定理的发现创设情景．
在定理应用环节，例题1是对照前面引入中的问题，换一组基底来表示向量，及时将所学新定理应用于学生熟悉的情境，便于学生更加直观形象的加深对基本定理的认识和理解；而例题2再次将学生的关注点拉回到对于一般平面向量的表示，再次完成了从特殊到一般的认知过程，同时在问题解决过程中让学生更加深入理解平面向量基本定理．
向量作为数学中重要的、基本的概念，它既是代数研究的对象，又是几何研究的对象，是数与形的结合体．“数”与“形”是数学的基本研究对象，是对立、辩证、统一的，因此数形结合是研究向量的重要数学思想．基于此，本节课的教学设计贯穿了“数形结合”这一数学思想，从知识的复习引入，学生的动手操作，定理的形成，以及定理的解读和应用，都渗透着数形结合的思想．在复习引入环节，要求学生通过对图形的观察，对向量进行代数式的表示，体现和运用了“数形结合”的思想．在定理发现的过程中，学生们对于图形的研究成为发现定理的敲门砖，当发现定理后，再使用代数式来准确描述．学生在经历这一探究的过程中，深刻地体会“数形结合”这一数学思想．在定理应用环节，继续渗透数形结合思想，使学生意识到“数形结合”是学习和研究数学的非常有效的方法．整节课的设计就是要通过数形结合的教学，培养学生学会对问题进行全面地思考，这与课程标准的理念是一致的．
教学背景分析
教学背景：向量是近代数学中重要和基本的数学概念，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，它有着极其丰富的实际背景，又有着广泛的实际应用．平面向量基本定理揭示了平面向量的基本关系和基本结构，是进一步研究向量问题的基础，是进行向量运算的基本工具，是解决向量或利用向量解决问题的基本手段．平面向量基本定理是将向量用坐标表示，进而将向量的运算转化为坐标的数量运算的重要基础，同时，它还是用基本要素（基底、元）表达和研究事物的典型范例，对于人们掌握认识事物的方法，提高研究事物的水平，有着难以替代的重要作用．
学情分析：授课班级为师大二附中高一（10）班，我校的文科试验班，学生的基础较好．前面学习了平面向量的实际背景及基本概念、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理），但对于平面向量基本定理还是一个新课题，因此，在教学中必须以学生已有的知识生长点为基准，从学生认知的“最近发展区”出发，为学生构建前后一致逻辑连贯的学习过程，通过逐步探索，自主发现获得新的定理，使他们在掌握数学知识的过程中学会思考．
教学目标
1、了解平面向量的基本定理及其意义，能够将简单图形中的向量表示为一组基底的线性组合；
2、经历平面向量基本定理的探究过程，让学生体会“由特殊到一般，一般到特殊”的思维方式，感受“数形结合”的数学思想；
3、在定理的探究和反思过程中，培养学生的理性精神．
设计框架
1、通过复习平行四边形中向量运算的实例引出本节课探究的主题；
2、学生自主探究平面上给定两个向量，任意的第三个向量如何由这两个向量表示；
3、学生归纳自主探究的结果，得到平面向量基本定理；
4、例1通过变换基底，学生在表示平行四边形中向量的过程中加深对平面向量基本定理的认识与理解；
5、例2学生选择适当的基底表示平面向量，既是实现对定理的应用，同时也为下节课向量的正交分解做好铺垫；
6、小结，回顾定理及发现过程，在数学思想上加以升华，让学生在学习过程中收获科学的方法．
教学过程
一、复习引入
教师引导：前面我们学习了平面向量的有关知识，请同学们解决如下问题：
如图1，在平行四边形ABCD中， E，F分别为DC，BC中点， ，． 试用向量表示：
（1）；
(2) ．
(图1)
学生探索：运用向量知识解决问题．
设计意图：学生通过对此题的解决，既复习了前面所学，也为本节课的学习做铺垫．同时借助平行四边形这一特殊图形的作用，学生容易看出平行四边形中不共线的两个向量可以表示其它的向量，由此引出本节课的主题，启发引导学生对于一般情况的探究．
二、定理发现
（1）创设问题情境，学生自主探究
教师引导：从问题1中可以看出平行四边形中的一些向量可以用向量，表示，那么在平面上的任意一个向量，我们是否也能用两个向量表示？请大家看问题2．
问题2:如图，试用向量表示向量．
(图2)
学生探索：学生利用已有的向量知识做图．
教师引导：为什么要平移向量？为什么能平移向量？如何表示向量c？
教师引导：问题2中的向量，都是我给大家的，下面同桌为一组，其中一个同学画出三个向量，，另一个同学用向量表示向量．
学生探索：学生用直尺，三角板等做出图形，并给出解释．
预案一：大部分同学画出的向量都能被表示出来，只有个别同学的表示出现了困难．
让同学展示无法用向量表示向量的情况．
教师引导：为什么不能用向量表示向量表示？这两个向量能表示什么样的向量？
预案二：如果学生都能表示所给向量，教师给出共线的情况并追问其原因．
设计意图：由问题1过渡到问题2以后学生研究的向量脱离了平行四边形的限制，变成相对更为一般的平面上的两个向量来表达平面上的向量，为发现定理做一个题设部分的铺垫．此时教师的追问，学生自身的探究，都成为学生发现定理的助推剂．由于本节课将不严格证明平面向量基本定理，作图的过程中一定要将定理中的存在性，唯一性，通过追问，学生自主探究做出明确解释．
（2）总结作图过程，发现基本定理
教师引导：通过问题1，2大家有什么发现？
学生归纳：学生通过对作图过程的观察，得到平面向量基本定理的内容．
教师小结：
平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使．其中叫做基底，叫做的分解式．
教师引导：平面向量基本定理中关键点有哪些？
学生反思：回忆定理发现过程，总结定理中的关键点．
设计意图：从作图到表述定理就是从形到数的一个过程．教师不代替学生发现和表述定理，而是由学生自主探究自主总结发现，教师起到引导、辅助作用，特别要关注学生的表述．
三、定理应用
教师引导：下面我们应用平面向量基本定理定理解决问题．
例1如图3，在平行四边形ABCD中， E，F分别为DC，BC中点，，试用向量表示
（1），；
（2）．
(图3)
学生探索：学生运用所学向量知识解决问题，深入理解平面向量基本定理．
预案一：学生运用向量方程组做出了例1，则启发学生从平面几何的性质入手，看看是否能有不同做法？如果仍然用平面几何做不出来，则留为课后思考．
预案二：学生运用平面几何性质做出了例1，则启发学生从代数角度思考，看看是否能有不同做法？如果学生做不出来，则留为课后思考．
教师总结：无论是借助向量方程组还是平面几何，其目的都是为了用两个不共线的向量表示平面向量，进一步理解、落实平面向量基本定理，通过问题1和例1的对比，在平行四边形中，以向量为例，我们发现基底选择不同表示向量的形式也会有差异．
设计意图：由平面上研究任意向量表示的一般情境回到平行四边形中的特殊情境，启发学生对于定理的理解和认识，由于问题1和例1的图形背景完全一致，用于表示向量的基底不一样，但平行四边形中的向量都可以被两个不共线的向量表示出来，紧紧围绕平面向量基本定理的核心，加强学生对定理的理解和认识，培养学生科学严谨的精神．
教师引导：那么在平面上的向量表示，选择不同的基底，表示向量会不会也有差异？我们来看例题2大家如何表示向量？
例2:向量，在正方形网格中的位置如图4所示，试用向量表示向量．
（图4）
学生探索：学生运用已学知识解决问题，加强对定理运用的意识．
预案一：学生将向量直接作为基底，表示向量，追问学生如何利用表示向量？根据什么这样表示？表示的结果是什么？这种表示难度比较大，学生还没有学过三角函数中的相关知识，结果求不出来，肯定学生的做法可行，等到进一步学习以后就可以得出结论，启发学生是否可以象例1中的情况那样变换其他基底来表示？
预案二：同预案一，学生发现向量直接作为基底，表示向量难度很大，重新选择水平和竖直方向上两个向量作为基底来表示，追问学生，这一组基底是什么？根据什么表示向量？由学生完成后续表示，课上时间紧张，可课后完善．
教师小结：例题2可以看出，平面上不共线的两个向量一定能表示平面上的任意向量．当然选择不同的基底，表示向量也会有很大的差异，选择合适的基底会使向量的表示较为容易．
设计意图：类似于问题2的研究背景，再次将研究平面向量表示的视角一般化，引导学生将所学知识应用于实践，同时也为下一节平面向量正交分解做好铺垫，为学生构建前后一致逻辑连贯的学习过程．
四、课堂小结
教师引导：通过本节课的学习，同学们学到了什么？有什么样的收获？
学生总结：学生回忆整节课的过程，反思并回答课堂所学，加深对定理学习的认识．
教师总结：今天我们从平行四边形中的向量表示出发，以及通过对平面上任意向量的作图表示，得到了平面向量基本定理，并从代数与几何两个方面深入理解认识，运用定理解决问题．
设计意图：及时反思总结，使学生在掌握数学知识的过程中学会思考，在以后学习中，可以借鉴的本节课研究过程和方法．
五、课后作业
教科书98页练习A组，第1、3、5题，练习B组第2，3题．
设计意图：促进学生复习巩固，加强对定理的理解和应用．