微教案
直线和圆的位置关系
——切线的判定定理
【内容概述】
证明圆的切线是近几年中考常见的数学问题之一。最常用的是利用“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”证明。
本内容通过动手操作得出切线的判定定理，再利用解决两道例题，总结归纳出两种具体的证法：
①当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，证明直线垂直于这条半径，简称为“连半径，证垂直”；
②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称为“作垂直，证半径”。
归纳总结后，马上给予两道对应练习题巩固理解两种证明方法。
【教学重难点】
理解切线的判定方法，能选择正确的方法证明一条直线是圆的切线。
【教学目标】
掌握判断圆的切线的方法，并灵活解题。进一步培养使用“分类”与“归纳”等思想方法的能力。
【教学过程】
一、复习引入
平面内直线和圆存在着三种位置关系，即直线和圆相离、直线和圆相切、直线和圆相交，这三种位置关系中最重要的是直线和圆相切。那么怎样证明直线和圆相切呢？怎样判定一条直线是圆的切线？
⑴和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（定义）
⑵到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（d=r）
除了这两种方法，还有没有其他方法判定一条直线是圆的切线呢?
活动一：在练习本上画一个圆O,做一个半径OA,做一条直线L,使L经过点A且垂直于OA。这样的直线能画几条？这条直线和圆是什么位置关系？为什么？你得到了什么结论？
切线判定定理：经过直径的一端，且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
活动二：分析定理。经过直径的一端，且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
这个定理有什么用？证明一条直线是圆的切线，那根据这个判定定理，要证明一条直线是圆的切线，需要几个条件？分别是什么？
对定理的理解：①经过半径外端. ②垂直于这条半径。
定理中的两个条件缺一不可。
二、典型例题
例1：如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB,CA=CB，
求证：直线AB是⊙O的切线。
证明：连结0C
∵0A＝0B，CA＝CB，
∴AB⊥OC。
∵直线AB经过半径0C的外端C，
并且垂直于半径0C，
∴AB是⊙O的切线。
【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线。
例2：如图，P是∠BAC上的平分线上一点，PD⊥AC，垂足为D，请问AB与以P
为圆心、PD为半径的圆相切吗？为什么 ？
证明：过P作PE⊥AB于E
∵AP平分∠BAC,PD⊥AC
∴PE=PD(角平分线上的点到角两边距离相等)
∴圆心P到AB的距离PE=PD=半径
∴AB与圆相切
【设计意图】通过例一和例二的解答，总结证明切线的两种添加辅助线的方法。
①当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，证明直线垂直于这条半径，简称为“连半径，证垂直”；
②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称为“作垂直，证半径”。
三、知识应用（练习）
1、如图，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB的延长线上
的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，弦AC平分∠EAB。
求证：DE是⊙O的切线．
［分析］：因直线DE与⊙O有公共点C，故应采用“连半径，证垂直”的方法。
证明：连接OC，则OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO(等边对等角)
∵AC平分∠EAB(已知)
∴∠EAC=∠CAO(角平分线的定义)
∴∠EAC=∠ACO（等量代换）
∴AE∥CO，(内错角相等，两直线平行)
又AE⊥DE，
∴CO⊥DC，
∴DE是⊙O的切线．
【评析】本题综合运用了圆的切线的性质与判定定理．一定要注意区分这两个定理的题设与结论，注意在什么情况下可以用切线的性质定理，在什么情况下可以用切线的判定定理．希望同学们通过本题对这两个定理有进一步的认识．本题若作OC⊥CD，就判断出了CD与⊙O相切，这是错误的．这样做相当于还未探究、判断，就以经得出了结论，显然是错误的。
2、如图，已知在△ABC中，CD是AB上的高，且CD= AB，E、F分别是AC、
BC的中点，求证：以EF为直径的⊙O 与AB 相切。
［分析］：因直线AB与⊙O无确定的公共点，故应采用“作垂直，证半径”方法。
证明：过O点作OH⊥AB于H
∵E、F分别为AC、BC的中点（已知）
∴EF∥AB，且EF= AB（三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）
∴G点为CD的中点，OH=GD= CD
∵CD= AB ∴EF=CD
∴OH= EF
∴AB为⊙O的切线
四、小结升华
本节课里，你学到了哪些知识，它们是如何应用的？
证明切线的方法：(1)直线和圆有交点时，“连半径，证垂直”；
(2)直线和圆无确定交点时，“作垂直，证半径”。
【设计意图】让学生自己通过这节课的学习归纳总结出本知识点，即判断直线与
圆相切的方法以及二种添加辅助线的方法。